81.1基本内容［］于是对切和，有小(1.1)[hol-l].[a].例1.6 设0=(1,元,0),6-(0,2,—1),则20-(2,2元,0),(-1)0=(-1,一元,0)-a,和a-3b=(1,-6,8)例1.7设u，2，us是已知尚量，又设a=u22，b--ug+2s和c-u十g十3，则a—2h-C-(u1—2a)—2(—ug+2u)—(u1+u+u)-1-2ug+214gu1-ug-u3m-ug-5g.！若对向量a和非零向b，有0使面，则称向量a和b同向，若a和b同向，耳有相同的长度，则由等式1.3），a一！，一6，于是一1，故4等于6，由此可知个向盘将由它的方向和长度唯一确定若一，6≠0且0，则称α和6反向：若a=0，b-0或者a和b同向或反向，即有实数，使a-b，则称a平行于b我们称真有单位长度的向量为单位向量，通常用乱。装示非零向量a的方向上的单位向量，显然，这单位向量可以用1/al乘a得到，即(1.2)u.-a/jal例1.8 设a-(1, 1, 8), b-(2, -2, 6)利1 c-(8, 8, -9),因为a量b,改间+(号）c，敏向量和c反同量a和6同向，因为b=一.在a的方向上的单位向量是向量wa-许fa-（1//1-1/V11,8/V11).例1.9如图1所示，在三角形9AB中，设atOA，6-OB，文设M是AB边上的中点，向OM可图1~5以用和b表示如下：16OM-a+AM-α+号 ABa+(b-ay"a)1h1:222.4.线性相关和线性无关.2线性相关和线性无关是两个十分重要的概念，向量，，：“，称为线性相关的，若存在不全为零的数研，32，…，确使hu+hug++hun0(1.3)若向量u1,uz，"%不是线性相关的，就称它们为线性无养的，即若式(1.8)仅当征一ha二=0时成立，则，ua，…，u线性无关i.1注意，包含零向量的向量集合是线性相关的，因为我们总可以写成0+0u,+..+ou,-0.例1.10向量名-(1，一1，0),6=（0,2，一1),C=（2,0，二1)是线性相关的，因为2a-+6-c-0例1.11设乎行于b，则a-0b0或a-b，即a-b-0，于是，a和线性相类。反之，设a和b线性相关，这时有a+b-0，不妨设%0，则a一一(/u)b这样一来，两个向最线性相关当且仅当这两个间量平行
【4］第一章向量在间题1.10中，我们证明线性无关的向量有下面重要性质：定理1.1若一个向量表为一些线性无关的向量的线性函数，则它的表达式是唯一的即是说，若u1，2，，，线性无关且u-hiulkug+.+u,ui+ua+...+u，M,hgk-5.基和分量三个向量e1=-（10,0），eg=（010)和e=（0,0,1）线性无关，因为e1+e+ge=（1，hs），若kie+eg+es-0，则-g-k-0任意向量（a）可以写成e1,es，ea的线性组合，即a=aer+ge+ages，由定理1.1知道这个表示式是唯一的．般地，一个向量的集合B称为E的一个基，若（i)F3的每一个向量可表成B中的向量的一个线性组合，（i）B是线性无关的向量集合在问题1.11中我们证明定理1.2任意三个线性无关向量构成E的一个基.反之，E的每一基由三个线性无关的向量组成，设u2是空间的一个基，且aai十十a，数a1，2，，或简记为a，12,8,称为关于基u1,ug,u的分量，由定理1.1知道，一个向量对于给定的基的分量是唯一的，但必须注意，向量的分量依赖于基的选择，一般地，如果基变了，分量也会变化，向量0是一个例外，它的分量永远是0, 0, 0.般用u，b，，4，，…表示向量a，b,uu，关于某指定的基的分量例1.12设1，u2，ua是基，且a-2u-ug，b-ug-2g和c=3u1十ug.证明a，bc线性无关，从而也构成一个基。因为，假定a+b+c（2+Ba）（-+）u+（2+）0由线性无关，可得28g0+020这是一个关于i，kn，s的齐次线性方程组。因为系数行列式203-1108±0,0--21故有唯一解研一ghg0因此，向量a，b,c线性无关，注意，a，6，c的分量分别在上面的行列式的每一列中出现受上面例子启示，一般地当有定理1.8设u，u，u是基，且设Vi-1CglVeainui+aug+aus,Valisui+a2sua+aaus,或简记为auu,j-1，2,8.V，Va，Va是基的充分必要条件为
4.$1.1基本内客【5］aia12+0.atg3aaha/332dsi6.向量的数量积1两个向量a=(1,42,03)和b=(61，b2,bs)的点积或数量积是实数a.b-aibi+asba+agbs.特别地，取a一b时，我们有公式(1.4)..a-o]*.在问题1.14中，我们证明数量积满足[O,] a.bb.a (交换律);[o,](ha).b-k(ab）(k=数);[Oa]a-(b+c)-a.b+ac(分配律)[o]数量积是正定的，即（i）对任意a,a.a≥0,(ii）a-a-0当且仅当a-0.显然，由定义，对任意α，有a.0-0.同样，若对任意a，有a·b一0，则6.b-0，再由1ol(ii), b-0.例1.13设a=(-2, 1,0)和b-(2, 1,1),则a-b-=-8, aa-5-[a[°例1.14设u和u是已知向量，且设a-u1-2,b-21十以2，则a·b（u1-）(2i+)2i·u1-—2u1·,+u1-g-g·2-2ui]a-ug—[g[9在问题1.16中，我们证明柯西-许瓦尔兹不等式[a.b|<|al /b],其中等号成立的充分必要条件为%和b线性相关，两个非零向量a和b之间的夹角，记作A0-(a,b)是下式.6-a61c086,09(1.5)的唯一解,例1.15如图1-6,在三角形ABO中，设a=BC,b-AC,c-BAa-b，且0LAOB-(a,b).因为jc[2/a--b/3-(a-6).(a-b)-2a.b+b.b我们得余弦定理c[c]2-[a]?-2]a] [6[c0s6+]6]3图1-6设b是非零向量，在b上的数量投影，记作P(a)，是数量P.(a)二(a-b)/ [bl.向量P(a)u，其中u是b的方向上的单位向量，称为a在b上的向量投影,并记作P(a)由此得出(a.b)bPs()-Pe(a)u=[(a.b)/(bi(b/(bl)(1.6)16]"显然，P(0)-0,P(0)-0.如果a本0,则由等式(1.5)，P(a)-a[cos日和P(a)
【8第一章向量-[aicosgu，其中-z(a,)，由此得知P(a)和P（a）与的长度无关，仅依赖的方向，图1-7所示，事实上，间量P(a）也与6的指向无关，即有P（a）P（a），因为a.bP(a) --9:-2(-b) -b- P,(a).-621612若b的指向改交，则数P（α）的待号也随着改变a.45P(o)Pta)图1-7只7.正交向量若a·b=0，则称两个向量a和6是正交的或垂直的，并记作上b.由等式(1.5)得，a和b是正交的充分必要条件为a-0或b-0或6/(a，6）=2例1.16设4和线性无关且c=a-（a，期c是和b正交的非零向量，否测，设c-0则由等式（1.6),0=1aP（a)=1a-硒，其中-ab)/12这是不可能的，因为a租6线性无关，因此子0.境后，因C.b-(a (u-b)b).b)(α.b)(b.b) - (a.b) -(a.b)-0,5=.6Jb1a1b1t故clb.8.标准正交基设e1，e2，es是三个互相正交的单位向量，如图1-8所示，它们是线性无关的..因为若rkiei+he+hgesmo,Q-eae(hier+ke+hes)eheLea一，即对每一个心，码一0，所以它们构成一个基，并称为标准正交基，易见，e（6=1，2，8）是标准正交基的充分必要条件e是o...Cei-e2.egeg-eatl（单位向量），e1.eg-2-Cge1-0-0（彼批垂真)，图1-8或简记为1当j-1, 2, 8),(1.7)e,-e,-oy10,当8称为克罗内克符号，它是一个常用的符号在间题1.28中。我们证明定理1.4设 cieu，en是标准正交基，文设"a=a牛aea+des 和bmbiei+bea+bee
1.1基本内容71Ci).abbtab+acbgCabr(ii)lalva.aVa+a+a-a(iii) a-a.e(i-l, 2, 8).例1.17.设a-e1+2ea,b-2ei+eg-2ea,c--2eg+ea,(a) a-6- (1) (2) +(0)(1) + (2)(-2) =-2,(b) (α.c)6-[(1) (0)-+(0)(-2) + (2) (1)](2er+ea~2es) =4e1+2ea(0) 0/由V+=~,(a) ua-TaT=(1//5)e1+(2//5)ea)a-b-2(0) cos Z(a, b) ~TaibT "373设非零向量a1e+2+aes，且设-2(a,e),=1,2,8,加图1-9所示，数00s1，cos02,c6a称为a的方向会弦，因为ae,-a[cosfc3一，故cosa-1,2,3注意，aa1ala"etalearleTaTarJG4fer(cos6i)e+(cos8a)e,+(cos8s)e3即a的方尚涂孩是女的坊向士的单位向冠的分量，1i图1-9：I:49.定向基t设（e1，ea，ea）和(91，9u，0s）都是有序的标准正交基，设想将三向量组（g1,gs,ge）作旋转，使9和9分别地与和重合，这时g：或者和s同向，或者和e反间，对前者我们称（g，ga,gs)和（ei，e2,es)有相同的定向，对后潜则称这两个基有反的定向：下面用精确的方式，对在意的基（而不仅限于标推正交基）阐述定尚概念：设（u，W，a）和（VVe，Va）是有序的基，且Vl。若系数行列式aul>o则（V，V，V)和(u，u2，a)有相同的定向。在问题1.27中，我们证明定闻是E中所有有序基的集合上的一针等价关系。这个关系把基划分为两个等价类，同一类中的有序基有想屌的穿向，而不同类串的基有相反的定向，far澳n19u,u,E(α)(0)(o)(e)