三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1若×是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)=[f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度2.密度函数f(x)具有下述性质：（1）非负性f(x)≥0(1)规范性[f(x)dx=1(3) p(x ≤X≤x2) =F(x2)-F(x)=f(x)db(4) p(X =x=0(5）由F(x)=[p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有dF(x) = F(x)= p(x)dx例3：设随机变量x的分布函数为F(x)=A+Barctanx。(1)求A,B，f(x)(2)求 pX≥1IX≥-1)F(-o)= lim F(x)= 0【解】F(+0)= lim F(x)=11A=!B=L得f(x)=A元(1+x)1-F(I)p(X ≥1|X ≥-1)=p(X≥1,X≥-1 _ P(X ≥1)1-F(-1)3p(X ≥-1)p(X≥-1)[kx0≤x<3为 (x)=}2-3≤x≤4。例4：设随机变量X的概率密度函数为20otherI(3)求(I≤X≤(1) k(2)分布函数241(1/6)【解】48
三、连续型随机变量 1.一维连续型随机变量的概念 定义 1 若 X 是随机变量， F x( ) 是它的分布函数，如果存在函数 f (x) ，使对任意的 x ， 有 − = x F(x) f (t)dt ，则称 X 为连续型随机变量，相应的 F x( ) 为连续型分布函数.同时称 f (x) p x( ) 是 F x( ) 的概率密度函数或简称为密度. 2.密度函数 f (x) 具有下述性质： （1）非负性 f (x) 0 （1）规范性 + − f (x)dx = 1 （3） { } 1 2 p x X x 2 1 1 2 2 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) x x P x x F x F x p y dy = − = 2 1 ( ) x x f x dx （4） p{X = x0 } = 0 （5）由 ( ) ( ) x F x p y dy − = 式可知，对 p x( ) 的连续点必有 ( ) '( ) ( ) dF x F x p x dx = = 例 3：设随机变量 X 的分布函数为 F(x) = A + Barctan x 。 （1）求 A，B ， f (x) (2)求 p{X 1| X −1} 【解】 ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = 得 2 1 A = ， 1 B = ， (1 ) 1 ( ) 2 x f x + = p{X 1| X −1}= 3 1 1 ( 1) 1 (1) { 1} { 1} { 1} { 1, 1} = − − − = − = − − F F p X p X p X p X X 例 4：设随机变量 X 的概率密度函数为 − = other x x kx x f x 0 3 4 2 2 0 3 ( ) 。 （1） k (2)分布函数 （3）求 } 2 7 p{1 X 【解】 （1/6）（ 48 41 ）
四、常见分布(1)两点（0-1）分布设离散型随机变量的的分布列为011-PP其中0<P<1，则称服从两点分布，亦称=服从（0一1）分布，简记为～（0一1）分布(2)二项分布若离散型随机变量E的分布列为p(5=k)=Chp"q"-k,k=0,1,2,",n其中0<p<l,q=1-p，则称=服从参数为n,p的二项分布，简称=服从二项分布，记为=~b(k,n,p)易验证 P(=k)≥0,C,p*q"-k=(p+q)"=1k=0显然，当n=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例(3)普哇松（Poisson）分布设离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，*，且取各个值的概率为P(S=h)=2e^k=01,2,,k!其中>0为常数，则称服从参数为的普哇松分布，记为～P(k;).易验证(1)P(5= k)>0,k = 0,1,2, ..,(2)≥ P(= k)=Z"e=1nLk!k=0定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为p，（与试验总数n有关）如果当n→o0时，np→(α>0常数），则有ke-,k=0,1,2,...lim b(k;n, pn) =k!5x-→0(4)几何分布设=是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2，··.而取各个值的概率为
四、常见分布 (1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量 的的分布列为 0 1 1 P P − 其中 0 1 P ，则称 服从两点分布，亦称 服从（0—1）分布，简记为 ~( 0—1）分布. (2)二项分布 若离散型随机变量 的分布列为 ( ) , 0,1,2, , k k n k n p k C p q k n − = = = 其中 0 1, 1 = − p q p ，则称 服从参数为 n p, 的二项分布，简称 服从二项分布，记为 ~ ( ; , ). b k n p 易验证 0 ( ) 0, ( ) 1 n k k n k n n k P k C p q p q − = = = + = 显然，当 n =1 时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例. (3)普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， ，且 取各个值的概率为 ( ) , 0,1,2, , ! k e P k k k − = = = 其中 0 为常数，则称 服从参数为 的普哇松分布，记为 ~ ( ; ) P k .易验证 0 (1) ( ) 0, 0,1, 2, ; (2) ( ) 1 ! k k P k k P k e k − = = = = = = 定理（普哇松定理）在 n 重贝努里试验中，事件 A 在一次试验中出现的概率为 n p （与 试验总数 n 有关）如果当 n → 时， ( 0 n np → 常数），则有 0 lim ( ; , ) , 0,1,2, ! k n x b k n p e k k − → = = (4)几何分布 设 是一个无穷次贝努里试验序列中事件 A 首次发生时所需的试验次数， 且可能的值为 1, 2, . 而取各个值的概率为
P(= k)=(1-p)t-l p=qk-p,k=1,2....其中0<p<1,q=1-p，则称=服从几何分布.记为~g(k,p).易验证(1)P(≤ = k)= pgk-l >0,k =1,2,...(2)Z pgkl =1k=l(5)均匀分布若随机变量(の)的概率密度函数为1a≤x≤bp(x)=b-a[o其他时，则称随机变量≤(の)服从[a,bl上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为0x<ax-aF(x)=a<x≤bb-a1x>b记为~Ula,bl(6)指数分布若随机变量X的分布函数为[1-e-ix>0F(x)=p(X≤X)=lox≤0概率中称X服从参数为入的指数分布.而随机变量X的概率密度为[e-xx>0p(x):[o,x≤0(7)正态分布设随机变量X的概率密度为_(xμ)212g(*)f(x)=-e-80<X<8012元0μ,o(α>O)是两个常数，则称设随机变量x服从μ,o的正态分布，记为X～N(u,α2)
1 1 ( ) (1 ) , 1,2. . k k P k p p q p k − − = = − = = 其中 0 1, 1 = − p q p ，则称 服从几何分布.记为 ~ ( , ) g k p .易验证 1 1 1 (1) ( ) 0, 1,2, (2) 1 k k k P k pq k pq − − = = = = = (5)均匀分布 若随机变量 ( ) 的概率密度函数为 1 ( ) 0 a x b p x b a = − 其他 时，则称随机变量 ( ) 服从 [ , ] a b 上的均匀分布.显然 p x( ) 的两条性质满足.其分布函数为 0 ( ) 1 x a x a F x a x b b a x b − = − 记为 ~U a b [ , ]. (6)指数分布 若随机变量 X 的分布函数为 − = = − 0 0 1 0 ( ) { } x e x F x p X X x 概率中称 X 服从参数为 的指数分布.而随机变量 X 的概率密度为 , 0 ( ) 0, 0 x e x p x x − = (7)正态分布 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x p x e x − − = − （*） , ( 0) 是两个常数，则称设随机变量 X 服从 , ( 0) 的正态分布，记为 ~ ( , ) 2 X N