2.6 P(W(t)≤x) P(N(t+x)-N(t)>0) 1-P(N(t+x)-N(t)=0) 当x<0时,P(W(t)≤x) 所以P(W()≤x)=1-e 当0<x<t时 P(V(sa)= P(N(t)-N(t-r)>0) P(N(t)-N(t-x)=0) 当x≥t时,P(V(t)≤x)=1 所以 1 0<x<t P(V(t)≤x) ≤0 >0,0<y<t时 P(W(t)≤x,V(t)≤y) P(N(t+x)-N(t)>0,N(t)-N(t-y)>0) P(N(t+x)-N(t)>0)P(N(t)-N(t-y)>0) P(W(t)≤x,V(t)≤y) P(N(t+x)-N()>0) P(N(t+x)-N(t)>0) 210解:由题意知A=1/2,那么 P 2.15解:由基本更新定理 E(N()) 2 E(X 216解:令Y1=X-6,则Y~Ex(),所以由Y2生成的是泊松流 P(N(t)≥n)
2.6 )µx ≥ 0 P(W(t) ≤ x) = P(N(t + x) − N(t) > 0) = 1 − P(N(t + x) − N(t) = 0) = 1 − e −λx x < 0§P(W(t) ≤ x) = 0" ¤±P(W(t) ≤ x) = 1 − e λxIx≥0" 0 < x < t P(V (t) ≤ x) = P(N(t) − N(t − x) > 0) = 1 − P(N(t) − N(t − x) = 0) = 1 − e −λx x ≥ t§P(V (t) ≤ x) = 1" x ≤ 0§P(V (t) ≤ x) = 0" ¤± P(V (t) ≤ x) 1 − e λx , 0 < x < t 1 , x ≥ t 0 , x ≤ 0 x > 0, 0 < y < t P(W(t) ≤ x, V (t) ≤ y) = P(N(t + x) − N(t) > 0, N(t) − N(t − y) > 0) = P(N(t + x) − N(t) > 0)P(N(t) − N(t − y) > 0) = (1 − e −λx)(1 − e −λy) y ≥ t P(W(t) ≤ x, V (t) ≤ y) = P(N(t + x) − N(t) > 0) = P(N(t + x) − N(t) > 0) = 1 − e −λx 2.10 )µdK¿ λ = 1/2§@o P(Sn > x) = Z ∞ x λ(λt) n−1 (n − 1)! e −λtdt = 1 2 n(n − 1)! Z ∞ x t n−1 e −t/2 dt 2.15 )µdÄ #½n limx→∞ E(N(x)) x = 1 E(X + Y ) = 2 3 2.16 )µ- Yi = Xi − δ §K Yi ∼ Ex(ρ)§¤±d Yi )¤´Ñt6" P(N(t) ≥ n) 6
P(Sn≤t) PCX≤t P∑Y≤t-n6) [(t-n6) (s+) 入入 )( 218生:当0<x<t时 P(B4≤x)=P(W(t)+V(t)≤x) P(W()≤x-y|V(t)=y)dP(v(t)≤y) P(W()≤x-y)dP(V(t)≤y) De ydy P(4≤x)=P(W(t)+V(t)≤x) P(W(t)≤x-yV(t)=y)dP(V(t)≤y) P(W(t)≤x-ydP((t)≤y) (W(t)≤x-yV(t) P(V(t)≤ Ate-A +(1
= P(Sn ≤ t) = P( Xn i=1 Xi ≤ t) = P( Xn i=1 Yi ≤ t − nδ) = 1 − nX−1 k=0 [λ(t − nδ)]k k! e −λ(t−nδ) 2.17 )µ F˜(s) = Z ∞ 0 e −stλ 2 te−λtdt = λ 2 (s + λ) 2 ⇒ m˜ (s) = F˜(s) 1 − F˜(s) = λ 2 s(s + 2λ) ⇒ m0 (t) = λ 2 − λ 2 e −2λt ⇒ m(t) = (λ 2 t + 1 4 e −2λt − 1 4 )I(t≥0) 2.18 )µ 0 < x < t P(βt ≤ x) = P(W(t) + V (t) ≤ x) = Z x 0 P(W(t) ≤ x − y|V (t) = y)dP(V (t) ≤ y) = Z x 0 P(W(t) ≤ x − y)dP(V (t) ≤ y) = Z x 0 (1 − e −λ(x−y) )e −λydy = 1 − e −λx − λxe−λx x ≥ t P(βt ≤ x) = P(W(t) + V (t) ≤ x) = Z x 0 P(W(t) ≤ x − y|V (t) = y)dP(V (t) ≤ y) = Z x 0 P(W(t) ≤ x − y)dP(V (t) ≤ y) = Z t − 0 (1 − e −λ(x−y) )e −λydy + Z ∞ t− P(W(t) ≤ x − y|V (t) = y)dP(V (t) ≤ y) = 1 − e −λt − λte−λt + (1 − e −λ(x−t) )e −λt = 1 − e −λx − λte−λx 2.25 )µ 7