2.1.下列事件有什么关系?试指出并说明理由 im,→,P{N(t)-N(s)≥1 (1)(N)<n)与(Sn>t) l-lim,,P{N()-N(s)=0} N()<n=N(Sn)∴Sn>t ∴Sn>t≥S N()<n)=(Sn>1) (2)(N)≤n)与(Sn≥1) 有若计数过程具有 Possion过程的性质,可不考虑同一时刻216设{x,n≥lidx的概率密度函数为 个以上“顾客”到达的情况,即可忽略P(Sn=Sn+)=0的 小概率事件,假设Sn<Sn+1,则 f(x)= (N(D)≤n)=(N()<n+1)=(Sn1>1) N()≤n)2(S≥1) 其中δ>0给定求更新过程中的概率P(N()≥k) 若是普通的计数过程,则S≤Sm1,当Sn=Sn1=t时 观察Xn和Xn+的分布函数,其中X服从参数为P的 N()=n+1>n,两者无包含关系 指数分布,对应一个 Poisson过程N(t) (3)(N()>n)与(Sn<1) P(Xn≤x)=p u-6) ped=P(Xn+≤x) 同上,若Sn<Sn1,则 N(>nc(s,<t 两者的分布函数完全相同,可令Xn=Xn+δ,则 若Sn≤Sn1,两者无包含关系 P(NO)≥k)=P(S4s1)=P∑xst-kB (4)(W()>x)与(N(t+x)-N(r)=0) (W()>x)=(Sa1-1>x) P(SA≤t-k6)=P(N"(t-k6)≥k) =(SM(1>1+x){:(N(n)<n)分(Sn>t)片 p(t-ko)e-p(-ks)I(t>k8) (N(t+x)<N(t)+1) (N(t+x)-N(1)<1) (N(t+x)-N(1)=0) 217设Xn的概率密度f(x)=2xe,x≥0,求相应的更新函 23.设(N(,t≥0)为 Poisson过程,参数为A.求或证明 数m(t) 对分布函数F(1)作 Laplace变换,得 (1)求EN()N(s+t EIN(ON(s+n) 22 (s)=e“dF() te EIN(OIN(s+r)-N(l]+EIN(O) S EIN(OJEIN(S)]+ DIN(]+E(N(I (s)1 22st+2t+22t2 1-F(s)2(ss+2 (2)求E{N(s+1)N(s)的分布律 1) m(s)e"ds,t≥0,σ≥0(s=a+io) E{N(s+1)|N(s)=m 查 Laplace反变换表,得更新函数的导数为 E{N(s+1)-Ns)+N(s)|N(s)=m} m(1)=(1-e2) =E{N(s+1)-N(s)|N(s)=m}+E{Ns)|N(s)=m m(0)=0 =nt+m t PE{Ms+)N()}=E{N(s+)N(s)=m)]=PM()=m) 分布律为 [E(N(C+DN(S)=At+m]=(s)-e- 224.令F=x0,y=x(0-X,2≤i≤n.试问Y1,F2,…,H是 否独立?同分布?并证明你的猜想? (3)任给0≤s≤t,有P{N(s)≤N(t) 通过计算可知顺序统计量(x(),Xxa2…,X(m)的联合pdf 证明: 令t=s+△,△≥0,则 为 f(x1,x2,…,xn) P{N(s)≤N(D)}=P{N(S+△)-N(s)20 =nz e-4(=+32++xs).I (A△)4 0≤x1<x2<…<xn 令y=x1-x-1,则变换的雅可比行列式为 (4)任给0≤s≤t,E>0.有lim,,P{N()-N(s) a(x1, 证明 (n,,…,)11 0≤P{N(1)-N(s)>e}≤P{N(t)-N(s)≥1 所以(H1,y2,…,F)的联合pdf为
2.1. 下列事件有什么关系? 试指出并说明理由: (1) (N(t) < n) 与 (S t) n > ( ) ( ) n ∵ N t < n = N S S t ∴ n > n N (t) ∵ S > t ≥ S ∴ N(t) < n (N(t) n) (S t) ∴ < = n > (2) ) (N(t) ≤ n 与 (S t) n ≥ 若计数过程具有 Possion 过程的性质, 可不考虑同一时刻 有 2 个以上“顾客”到达的情况, 即可忽略 ( ) 0 P Sn = Sn+1 = 的 小概率事件, 假设 n < n+1 S S , 则 ( ( ) ) ( ( ) 1) ( ) 1 N t n N t n S t ∵ ≤ = < + = n+ > (N(t) n) (S t) ∴ ≤ ⊃ n ≥ 若是普通的计数过程, 则 n ≤ n+1 S S , 当 S S t n = n+1 = 时, N( , t) = n +1 > n 两者无包含关系. (3) ) (N(t) > n 与 (S t) n < 同上, 若 n < n+1 S S , 则 (N(t) n) (S t) > ⊂ n < 若 n ≤ n+1 S S , 两者无包含关系. (4) ) (W (t) > x 与 (N(t + x) − N(t) = 0) ( ( ) ( ) 0) ( ( ) ( ) 1) ( ( ) ( ) 1) ( ) { ( ( ) ) ( )} ( ( ) ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 = + − = = + − < = + < + = > + < ⇔ > > = − > + + N t x N t N t x N t N t x N t S t x N t n S t W t x S t x N t n N t ∵ 2.3. 设 (N(t), t ≥ 0) 为 Poisson 过程, 参数为 λ . 求或证明: (1) 求 E[N(t)N(s + t)]; 2 2 2 2 2 [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( ( ))] [ ( )[ ( ) ( )]] [ ( )] [ ( ) ( )] st t t E N t E N s D N t E N t E N t N s t N t E N t E N t N s t = λ + λ + λ = + + = + − + + (2) 求 E{N(s + t) N(s)}的分布律; { ( ) () } { ( ) () () () } { ( ) () () } { () () } ENs t Ns m ENs t Ns Ns Ns m E Ns t Ns Ns m ENs Ns m λt m ∴+ = = +− + = = +− = + = = + ∵ P[E{N(s + t) N(s)} = E{N(s + t) N(s) = m}]= P(N(s) = m) ∴分布律为 [ ] s m e m s P E N s t N s t m λ λ λ − + = + = ! ( ) { ( ) ( )} (3) 任给 0 , ≤ s ≤ t 有 P{N(s) ≤ N(t)} = 1. 证明: 令t = s + ∆, ∆ ≥ 0 , 则 1 ! ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( ) 0} 0 = ∆ = ≤ = + ∆ − ≥ ∑ +∞ = − ∆ k k e k P N s N t P N s N s λ λ 得证. (4) 任给 0 ≤ s ≤ t, ε > 0 . 有 lim → P{N(t) − N(s) > ε} = 0 t s . 证明: 0 ≤ P{N(t) − N(s) > ε} ≤ P{N(t) − N(s) ≥1} 0 1 lim 1 lim { ( ) ( ) 0} lim { ( ) ( ) 1} ( ) = = − = − − = − ≥ − − → → → t s t s t s t s e P N t N s P N t N s λ 得证. 2.16 设{X ,n ≥1} n iid. Xn 的概率密度函数为 ≤ > = − − δ ρ δ ρ δ x e x f x x 0, , ( ) ( ) 其中δ > 0 给定. 求更新过程中的概率 P(N(t) ≥ k) . 观察 Xn和 的分布函数 Xn '+δ , 其中 ' Xn 服从参数为 ρ 的 指数分布, 对应一个 Poisson 过程 N'(t) . ( ) d d ( ' ) 0 ( ) P X x e u e u P X x n x u x u n ≤ = = = + ≤ ∫ ∫ − − − − ρ ρ δ δ ρ δ ρ δ ∵ 两者的分布函数完全相同, 可令 Xn = Xn '+δ , 则 ∑ ∑ +∞ = − − = ⋅ ⋅ > − = = ≤ − = − ≥ ∴ ≥ = ≤ = ≤ − i k t k i i k k i k i e I t k i t k P S t k P N t k k P N t k P S t P X t k { } ! ( ) ( ' ) ( '( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ' ) ( ) 0 δ ρ δ δ δ δ ρ δ 2.17 设 Xn 的概率密度 ( ) , 0 2 = ≥ − f x xe x λx λ , 求相应的更新函 数 m(t) . 对分布函数 F(t) 作 Laplace 变换, 得 + = − − ∴ = + = = = ∫ ∫ +∞ − + +∞ − λ λ λ λ λ λ λ 2 2 1 ( ) ~ 1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) d ( ) d ~ 2 2 0 2 ( ) 0 F s s s F s m s s F s e F t te t st s t i i 1 '( ) ( ) d , 0, 0 ( i ) 2πi st m t mse s t s σ σ σ σ ω + ∞ − ∞ ∴ = ≥ ≥ =+ ∫ 查 Laplace 反变换表, 得更新函数的导数为: 4 1 2 4 (1 )d 2 ( ) (0) 0 (1 ) 2 '( ) 2 0 2 2 ∴ = − = + − = = − − − − ∫ t t t t t e m t e t m m t e λ λ λ λ λ λ ∵ 2.24. 令Y X Y X X i n 1 = (1) , i = (i) − (i−1) ,2 ≤ ≤ . 试问Y Y Yn , , , 1 2 " 是 否独立? 同分布? 并证明你的猜想? 通过计算可知顺序统计量( , , , ) X(1) X(2) " X(n) 的联合 p.d.f. 为 {0 } ( ) 1 2 1 2 1 2 ! ( , , , ) n n x x x n x x x n n e I f x x x ≤ < < < − + + + = ⋅ " " " λ λ 令 i = i − i−1 y x x , 则变换的雅可比行列式为: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = = ∂ ∂ = # # # # # " " " " " n n y y y x x x J 所以( , , , ) Y1 Y2 " Yn 的联合 p.d.f.为
g( , n) nx"emc2…e,,la,sn 分布律为PESN()=1+7=PN0)=0)=c =nle01.(n-1)e4(n1)2…,e-1ty2.1sn ②当n≥1时, 计算每个变量的边缘pdf,得 ELS IN(=n] g(y)=(n-1+1)e-4(m-+4)y,1 l≤i≤n P(S1>s|N() P(Y >s)ds 8(y1,y2,…,yn)=g(y1)g(2)…8(yn) 可知y1,Y2,…,独立,但不同分布 分布律为P|E(S|N() P(N()=n) (n)- 225.设{N(t),t≥0}为时齐 Poisson过程,S13S2…,Sn为事件 相继发生的时刻 (3)利用(1)及(2求ESNO的分布律 (1)给定N(t)=n试问S2S2-S1,…,Sn-Sn1是否条件独 立?是否同分布?试证明你的猜想? (可利用(2)的方法EN0=小-[P(S2>N(O0=n) 已知S1,S2…,Sn在N(t)=n(m≥1)条件下的pdf为 ①当1≤k≤n时 ELSN(=n f(t1,t2,…,tn) t042n分 E[S:-S1+S1-S21+…+S-S+S|N()=n 令x1=S1,X1=S-S-12≤1≤n令x=1-1-1,则变换的 雅可比行列式为 EISp-Sh-IN(=n]+E[S:- -S2-2IN(0=n]+ +E[,N(=nl a(x1,x2,…,xn) 所以(X1,X2,…,Xn)的联合pdf为 +1(因为同分布) 分布律为 n x2+…+n5x120 E(SN() n+1 =P(N()=n) 1≤k≤n 计算边缘pdf,得 ②当0≤n<k时, gx(r ELSIN(=n E[S0+S0-S0+…+s-S-|N(O)=n] EISIN()=n]+ E[SN(+ -SoIN()=n]+ 下面计算上式中的重积分 ∫、8x地=1 +E[S-S1|N()=n r+∑Ex ∑dt =/+x-n 分布律为 dxdx2…dxdx+1…dxn S-,x20 E(S1|N()=1+k-n |=P(M)=以)s(n。 0≤n<k n(f-x 8x(x)= 226.设{N(1),t≥0}是参数为A的时齐 Poisson过程 可知,g(x1,x2…,x)≠8(x1)g(x2)…g(xn),因此 S=0.Sn为第n个事件发生的时刻求 S,S2-S13…,Sn-Sn1条件不独立,但同分布 1)(S2,S5)的联合pdf (2)求ESN可小的分布律 用微元法来求解 令t2<13,取充分小的h>0,使得 根据习题1.1的结果有 E[S,JN(=n]=P(S,>sN(=n)ds 12-b≤12<12+b<1-h<1≤+h 则 ①当n=0时 E[S,IN(=0]P(S,>sIN(=O)ds P(2-h<S2s2+h<4-h<s≤4+ PN(s)=0|N()=0)d PN2-)=1M电N21-1 A(s-1) (4-2)-N4+2)=2M4+2)-N4-2)=+O()
{ 0, 1 } ( 1) { 0, 1 } ( 1) 1 2 1 2 1 2 ( 1) ! ( , , , ) y i n ny n y y y i n n ny n y y n i n i n n e n e e I n e e e I g y y y ≥ ≤ ≤ − − − − ≥ ≤ ≤ − − − − = ⋅ − ⋅ = ⋅ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ " " " 计算每个变量的边缘 p.d.f., 得: g y n i e I i n i i y n i y i = − + ⋅ ≥ ≤ ≤ − − + ( ) ( 1) , 1 { 0} λ( 1) λ 且 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n g y y " y = g y g y "g y 可知Y Y Yn , , , 1 2 " 独立, 但不同分布. 2.25. 设{N(t),t ≥ 0}为时齐 Poisson 过程, n S , S , , S 1 2 " 为事件 相继发生的时刻. (1) 给定 N( . t) = n 试问 1 2 1 1 , , , − n − n− S S S " S S 是否条件独 立? 是否同分布? 试证明你的猜想? 已知 n S , S , , S 1 2 " 在 N(t) = n (n ≥ 1) 条件下的 p.d.f.为: 1 2 {0 } 1 2 ! ( , , , ) n n t t t t n I t n f t t t < < < < ≤ " = ⋅ " 令 X S X S S i n 1 = 1, i = i − i−1,2 ≤ ≤ .令 i = i − i−1 x t t , 则变换的 雅可比行列式为: 1 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = ∂ ∂ = n n x x x t t t J " " 所以( , , , ) X1 X2 " Xn 的联合 p.d.f.为 1 2 { , 0} 1 2 ! ( , , , ) + + + ≤ ≥ = ⋅ n i n n x x x t x I t n g x x " x " 计算边缘 p.d.f., 得 ∫∫ ≤ − ≥ − + ∑ ≠ = = , 0 1 2 1 1 1 d d d d d ! ( ) i k n k i k k i x t x x n i i n X i x x x x x t n g x " " 下面计算上式中的重积分: 1 1 1 12 1 2 , 0 1 2 , 0 1 12 1 1 , 0 1 {0 } ( , , , )d d d 1 dd d ! ( ) dd d d d ( 1)! ( ) ( ) n k k k n k k k n k ik k k i i i n n x tx n n x tx n i ii n x tx x n i X i xt n gxx x x x x t xx x n t x xx x x x n nt x gx I t = = = ≠ ≤ ≥ ≤ ≥ − − + ≤− ≥ − ≤ ≤ = ∑ ∴ = ∑ − ∴ = ∑ − − ∴= ⋅ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∵ "" " " " 可知, ) ( , , , ) ( ) ( ) ( 1 2 n 1 2 n g x x " x ≠ g x g x "g x , 因此 1 2 1 1 , , , − n − n− S S S " S S 条件不独立, 但同分布. (2) 求 [ ( )] 1 E S N t 的分布律. 根据习题 1.1 的结果有 [ ] ∫ +∞ = = > = 0 E S1 N(t) n P(S1 s N(t) n)ds ① 当 n = 0 时, 1 1 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ( ) 0)d ( ( ) 0 ( ) 0)d 1 d s t E S Nt PS sNt s PNs Nt s e st λ λ +∞ +∞ +∞ − − = = > = = == = =+ ∫ ∫ ∫ 分布律为: 1 1 ( ( )) ( ( ) 0) t P ES Nt t PNt e λ λ − =+ = = = ② 当 n ≥1时, 1 1 (1) 0 0 0 ( ) ( ( ) )d ( )d d 1 t n t E S Nt n PS sNt n s PY s s ts t s t n +∞ = = > == > − = = + ∫ ∫ ∫ 分布律为: 1 ( ) ( ( )) ( ( ) ) 1 ! n t t t P ES Nt PNt n e n n λ −λ = = == + (3) 利用(1)及(2), 求 E[S N(t)] k 的分布律. (可利用(2)的方法, [ ] ∫ +∞ = = > = 0 E S N(t) n P(S s N(t) n)ds k k .) ① 当1 ≤ k n ≤ 时, -1 -1 -2 2 1 1 -1 -1 -2 1 ( ) ( ) [ () ] [ () ] [ ( ) ] ( ) 1 k kk k k kk k k E S Nt n E S S S S S S S Nt n ES S Nt n ES S Nt n ES Nt n kt n = − + − + + − + = = − =+ − =+ + = = + " " ＝ 因为同分布 分布律为: ( ) ( ( )) ( ( ) ) , 1 1 ! n t k kt t P ES Nt PNt n e k n n n λ −λ = = = = ≤≤ + ② 当0 ≤ n k < 时, () () 1 () 1 () () 1 () 1 1 ( ) ( ) [ () ] [ () ] [ ( ) ] [ ] k Nt Nt Nt k k Nt Nt Nt k k k n i i E S Nt n E S S S S S Nt n ES Nt n ES S Nt n ES S Nt n t EX k n t λ + − + − − = = + − ++ − = = =+ − =+ +− = = + − = + ∑ " " ＝ 分布律为: ( ) ( ( )) ( ( ) ) , 0 ! n t k kn t P ES Nt t PNt n e n k n λ λ λ − − = + = = = ≤< 2.26. 设{N(t),t ≥ 0}是参数为λ 的时齐 Poisson 过程, n S 0. S 0 = 为第 n 个事件发生的时刻. 求: (1) ) ( , 2 5 S S 的联合 p.d.f. 用微元法来求解: 令 2 5 t < t , 取充分小的 h > 0 , 使得 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 h t t h t h t t h t − < < + < − < < + . 则 2 22 5 55 2 22 2 52 55 ( ) 2 22 2 { ( ) 1, ( ) ( ) 1, 2 22 ( ) ( ) 2, ( ) ( ) 1} ( ) 22 22 h hh h Pt S t t S t h hh PNt Nt Nt hh hh Nt Nt Nt Nt Oh −< ≤+<−< ≤+ = −= +− −= − − + = + − − =+
M.2(-t1-h)2。4+.,heM (3)(S1,S2)在N()=1下的条件pdf 注意到只有在0<t1≤t<t2的条件下, +O(h2) fis (,|N()=1)≠0 =1x(2--4-b)+() 用微元法来求解,对任意一个给定的t,令1<12,取充分小 02)=24(4-4)-,m 的h>0,使得 t1--<t1<t1+≤t<l2--<l2<t2+ 则 E[S(] S1≤+<2-7<S2≤12+|N()=1 ① h P(1--<S1≤t1+≤t<12-<S2≤t2+) E[S,]=ES,N(=O]- P(N(=0)+E[SIN(21]. P(N(2D) P(N()=1) 根据习题2.25的结果, h =(+)+ESO2(-c) eP{N(4-)=0.Nt1+b)-N(t2 E[ N(21]= N()-N(1+-)=0,N(t2-)-N(1)=0 11 N(2+)-N(12-)=1}+O(h) PS≤xN()≥l P(S1≤xS1≤t) P(S1≤x) P(S1≤D) f1(4,4N()=1)=,e3,los f(xN()≥1) ne ={1-x,0sx≤t 0,其他 E{S|N()≥1
2 5 2 5 2 2 ( ) 5 2 ( ) 2 2 2 ( ) 52 2 2 2 2 52 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 ( )( ) ( ) 2 2 h t h h tth h t h tth t e he e he O h h h t t t h e Oh λ λ λ λ λ λ λλ λ λ − − − − − −− − + − − =− ⋅ ⋅ ⋅ + = − −− + {0 } 2 2 5 2 5 2 5 2 5 5 2 ( ) ( , ) t t t I t t t e f t t < < − ⋅ − ∴ = λ λ (2) [ ( ) 1] E S1 N t ≥ ① [ ] [ ( ) 0] ( ( ) 0) [ ( ) 1] ( ( ) 1) ∵ E S1 = E S1 N t = ⋅ P N t = + E S1 N t ≥ ⋅ P N t ≥ 根据习题 2.25 的结果, [ ] [ ] t t t t e te E S N t t e E S N t e λ λ λ λ λ λ λ − − − − − ∴ ≥ = − ∴ = + ⋅ + ≥ ⋅ − 1 1 ( ) 1 ) ( ) 1 (1 ) 1 ( 1 1 1 ② {0 } { } {0 } { } 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) { ( ) 1} x t x t t x x t x t I I e e I I P S t P S x P S x S t P S x N t − ≤ ≤ > − ≤ ≤ > ⋅ + − − = ⋅ + ≤ ≤ = = ≤ ≤ ≤ ≥ λ λ ∵ ≤ ≤ − = ∴ ≥ − − 0, 其他 , 0 1 ( ( ) 1) 1 x t e e f x N t t x S λ λ λ t t t x t t t x e te x e e x e x e E S N t λ λ λ λ λ λ λ λ − − − − − − − = − ⋅ − = − − = ∴ ≥ ∫ ∫ 1 1 d( ) 1 1 d 1 { ( ) 1} 0 0 1 (3) ) ( , 1 2 S S 在 N(t) =1下的条件 p.d.f. 注意到只有在 1 2 0 < t ≤ t < t 的条件下, ( 1, 2 ( ) 1) 0 ( , ) ( ) 1 1 2 = ≠ = f t t N t S S N t 用微元法来求解, 对任意一个给定的t , 令 1 2 t < t , 取充分小 的 h > 0 , 使得 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 h t t h t t h t t h t − < < + ≤ < − < < + . 则 ) 2 ( 2 ) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ) 1} ( )] 2 ) ( 2 ( ) ( ) 0, 2 ) 0, ( 2 ( ) ( ) 1, 2 ) ( 2 ) 0, ( 2 [ { ( 1 ( ( ) 1) ) 2 2 2 2 ( ( ) 1) 2 2 2 2 ( t t h t h h t t h t t h h t t h e t te e he e e he O h h N t h N t N t h N t h N t N t h N t h N t h P N t te P N t h S t h t t h S t h P t N t h S t h t h S t h P t − + − − − − − − − − − − − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + − − = + − + = − − = = ⋅ − = + − − = = − < ≤ + ≤ < − < ≤ + = − < ≤ + < − < ≤ + = λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ∵ {0 } ( ) ( , ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 2 ( , ( ) 1) t t t t t S S N t e I t f t t N t < ≤ < − − = ∴ = = ⋅ λ λ