第一章 1.1证明:1°由数学期望的定义,且X是非负随机变量,有:E(N)=∑0nP(N =1P(N≥m),令m=n-1,有:E(N)=∑m1P(N≥n)=∑m=0P(N≥ m+1)=∑m=P(N>m)=∑n。P(N>n).2°先证明一般情况。由数学期望的 定义,且X是非负随机变量,有:E(Xn)=xndF(x)= Jo ntn-lddF(r)= Jo ntn-I dF(a)dt=Jo ntn- (1-F(t)dt=Jo n.n-(1-F(a))dz (n> 1) 取n=1,有:E(X)=(1-F()dx 1.3解:1°因为:(M1+N2=m)=U=0(N1=n-k,N2=k),所以P(N1+N2= )=P(Uk=0(N1 k, k)P(N2=k)=(A1+ 入2)y/n!)e-(x1+2).为参数为(A1+入2)的 Poisson分布.2°当1≤k≤n时,P(N1= 2=n)=P(N1=k, k)n!/(A1+A2)2)=C(A1/(A1+入2)(A2/(A+A2)-)~B(n,A1/(A1+A2)是 参数为(n,A1/(A1+A2))的二项分布.3°证明:因为N1,N2,N3相互独立,对 有:P(N1+N2=m,N3=n)=∑k=0P(N1 P(N=kP(N2=m-k)P(N3=n)=P(N3=n)2k=o P(N=k)P(N2 k)=P(N3=n)P(N1+N2=m)因此,N1+N2和N3相互独立.4°解:由第二问中的 洁论:P(N1=kN1+N2=n)~B(,A1/(A1+入2),由二项分布的数学期望公式得: E(NN1+N2=n)=An/(x+A2)故:E(N|N1+N2)=(A1(M1+N2)/(x+2).又 因为M和N2独立,所以E(N1+N2|N1)=E(N1|N1)+E(N|N)=N1+E(NN)= 1.5解:先分析,由于X;非负,所以ξ取负整数的可能为0,考察ξ取非负整数的可 能,对k≥0:(=k) X Um1(N=n,∑1。X1=k)又∑1X;~B(k,p,且N与{Xn}独立,有:P(E= k)=∑=k(PCn1X1=k)P(N=n)=∑=4(/m!)e-)(Chp4(1-p)2-) (p)/k!)e,E~Po小)仍然是泊松分布,所以:E()=D()=M 110解:对任意t≥0,记:N()=∑=1I(xs)=∑=1(x<)1°由0≤X)≤X(m), 考虑0<x<y,并取充分小的h>0满足:<x+h<y<y+h.记事 件:A=(N(x)=0,N(+h)-N(x)=1,N()-N(x+h)=n-2,N(y+h) N()=1);B=(x<X(u)≤x+h,y<(n) h);显然有:ACB,且 B=A+BA.且由 Poisson过程的定义,有P(BA)=o(h2),那么:fx1,xn(x,y)= (n(n-1)2(e-2-cA0)-2e-Nm+)h2+(h2)所以:fx1,xn(x,y)=(n(n
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部分习题解答 1)2(c-)x-c-A0)-2e-(m+)o<xm2°记事件:C=(N(x)=i-1,N(x+b N(x)=1);B=(N(x)=i-1,N(x+h)-N(x)≥2);D=(x<x(a)≤x+h)=C+DC; 又因为 DC C DB,且由 Poi sson过程的定义,显然有:P(DB)=o(h2),那么 limh-o(P(D)/h)= limh-0(P(C)/h)=icn(1-e-Xx)i-IAe-x(n-i+1 )zI(a>o) FFDA fx(r)=iAC(1-e-xa)i-le (∞>)(1≤i≤n)3°对v≥0,因 为X1和2相互独立,所以:P(X1+X2≤x)=P(X1+X2≤|X t1)dP(X1≤t1)=P(X t1|x1=t1) dt= P( t1)ehd1=(1-e-x-1)A1e-hhd1·如果A≠A,那么:P(x1+X2≤ r)=(1+(x1/(A2-A1)e-2x+(x2/(A1-2)e-N)1(x>0,如果A=A2=入那么 P(X1+X2≤x)=(1-(1+A)e-An)l 1.14证明 对v∈(=v),有:E(x|Y)=E(xY=y)那么(Y v)时:E(E(xy,2)Y)=E(E(X1,Z)Y=y)=E①∑,AE(XY=m,Z E(X ∑E(XY=,E=)P(z==)=E(下=)因此:EE(x2z)y BxY)2°EE(X),2=∑E(E(xY)=,Z=2)1=的,z=) ∑AEC∑1E(x|Y=m)(y=my 2k)1(y=),Z=2k) W)E(y=m)Y=y,2=3k)1y=m,z=4)=∑AE(XY=9)(y=的,乙=) x|Y=y)∑k1y=1,z=)=∑,E(|Y=y)1=)=E(X|Y 113解￥:1°采用微元法:注意到当x<0时,fxx20()=0.对v20 因为:P(x≤X≤m+hX≥0)=P(x≤X≤x+b)/(1-更(-H/)所 以:fxxo()=(1/(1-重(-/) lim h-o F(≤X≤x+h)/h=(1/(1 4(-p()(1/27o)c(-u)12212.2°E(x|x≥0)=J0 afl()da 1/(1-4(-m/0)(1/(Vzo)ore-(x-)/2dr=2.055 第二章 2.1解:题中并没有指明这是 Poisson过程,应该当作一般计数过程来理解.1° (N(t)≥n)=(Sn≤t),并且(N(t)<n)=(N(t)≥n);(Sn>t)=(Sn≤t°,所 以:(N(t)<n)=(Sn>t).2°若计数过程具有 Possion过程的性质,可不考虑同一 时刻有2个以上”顾客”到达的情况,即可忽略P(Sn=Sn+1)=0的小概率事件,假 设Sn<Sn+1,则由(N(t)≤n)=(N(t)<n+1)=(Sn+1>t)知(N(t)≤n)2(sn≥ t).若是普通的计数过程,则Sn≤Sn+1,当Sn=Sn+1=t时,N()=n+1>n,两 者无包含关系.3°这两个事件分别是2°中两个事件的补集,由2°的结论,这 两个事件也彼此互不包含.4°(W(t)>x)=(SN(1+1-t>x)=(SN)+1>t+x) 又(N(t)<n)台→(S(n)>t),所以(SNt)+1>t+x)=(N(t+)<N(t)+1) (N(t+)-N(t)<1)=(N(t+x)-N(t)=0)
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部又习题解答 2.3解第:。由 Poi sson又布增量独立性第 EINit&Nit+s; EINi ti Nit+s-Nt+ E eNit nitu anita ENit& Nitu; Xtk ask+tM2+M1MttA8+M+;k.2°由 Poisson又布增 量独立性第EN8+tl|Ns;m,ENs+ Sh+ NI SNiSw i EN8+th-Nsl|Ns)m+m;M+m.作第ENs+t|NcsM+ 则EN8+t|Ns章值域为M,+M,2+M,…其又布PENs+tNs n+ Athi Pi n n∈Nk,3°由 Poisson过程增量平稳 性由用v0≤s≤t,可知第P1Ns<N1tk;P1Nt-Ns≥0kP1Nt-sb>0 而Nt-sb≥0是也然事件由作PNsk<Nt;1.4°由 Poisson过程增量 平稳性由P1Nt-Ns>Ek;P1Nt-s>g.又由 Poisson过程章证义由 PI NI P1Nt-sb>21Ot-s,即有第 k;At-sk+ot-sn,作imt→+sP1Nt-sk≥:k;0,则limt→sPNt-sk;Ok;, 又>0,则有第imt→。P1Nt-s>c;0 2.6解第令{Xn};{Xn-6},则{Xn}d且Xn章pdf为第f 即{xn}~Erp,用应章Ntb是时齐 Poi sson过程.若求P1Nt≥kP1Sk P=1X71≤t;P1∑ 即PX1X≤t-k6;P1SF≤ t-k;P1Nt-ko>k,由 Poi sson过程章证义由应第P1Nt-k6>k P1Nt-k6<k-∑bpt-pke-=k6)/!t≥kn.也就是更新过程 中章慨率P1Ntb≥kb)1-hbpt-pko6be--k/l!t≥kD以 2.7解第于fx12reA,作F1sc- dFithi X2/s2+2A.那么由:296 式可知由msh;F18/1-F1sk)tM/2ai/s-:/8+2M,进行反拉氏一换应 t;t入2 由 tk可知第 e-2)/4+A,再利用m0;0应mtM/2+te-2)-/4 224解第,12,…,Yn独立但是不同又布由1如下先求XmyX(2y…,Xo章联合概 密度函·仿照证理22章1齡第<n1<x2<…<xn,取者又小章h>0,则 Pt1<X(1)<x1+h<2<X(2)<x2+h<…<xn<X(n)<n+hkinl!Pr< X1<r1+h<x2<X2<x2+h<…<xn<Mn<mn+h,又由{X:≤i≤n} 独立同指2又布由那么第lim+Px1<X()<x1+h<x2<X(2)<x2+h <xn<X(m)<xn+h/h;n!A"e-(+吗++).则X(y,x(2)y…,Y(m章联 合概率密度函2为第gx1,x2…,xnm!eN+n+“+)1o<m<2<<m再 注意到第Y1;Xa)yY2)X(2)-X 令 r-1ti≥2,则一换章雅可比矩阵为J,可知H,Y2,…,yn章联合概率密度函2为第 fuyi, y IJ n!A 由如下引理第 果X1,X2章联合概率密度函fx1,x2k可以表示为fx1,x2)4gr192k,其中A 为常2项邮以知道X1,X2彼元独立.可以知第fv1,32…,yn)‖JI=198
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部分习题解答 其中=g(m-=M(n E因此 独立但是不 同分布 5解:∞2同分布但是不独立=证。如下.由定理4-可知:SNSn……,Sn在 N(t→=n条件下的概率密度函数是:f(tNtm…,tn→=n!/tnt1<t2<…<s 记XN=SNXn=Sn-SN…,Xn=Sn-SmN易知其联合概率密度函数为 f(xNxm…,xn+=n!/"i证i2nin°s,-积分得Fx→=∞-(∞-x/t因 此{Xk}同分布=但是f(xNf(xm→…f(xn→=(n!"-Iax∞-/tN≠m!/t,因 此{Xk}不独立 分两种情况讨论:当N(t→=0时=由指数分布的无记忆 E(XNN( E(XNY N(t+=k≥∞时=由定理.4-可知=(SNSn,…,Sk→与[0,上的相互独立的同均 匀分布的顺序统计量的分布函数相同=故有:E(SNN(+k=E(N+t/(k,a+ 分布律为:P(E(SNN(t→=E(S+N(→=0=t/A=c-);P(E(SNN(t→= E(SNN=k=t/(k,=(Me-M/H!(k≥∞32同样分两种情况讨论:当 时=由第一问知 N同分布=则:E(Sk|N(t E(Sk-Sk-N(Sk-NSk-m…(Sn-SN+SNN(t一kt/(Nt→+当N(t<k 时=同样由指数分布的无记忆性得1E(Sk|N(t→=tt(k-N(t/入-分布律为 P(E(SkIN(t-E(SkN(t-=n-F(At-ge-xt/n 6解 对v0<x<y取充分小的h使得0<x<Sn<xth<y< 记事件:B={0 Sn≤xth<y<S.≤yth};A N(y+=4,N(yth→=5}则:B (B∪A所以 P(B→=P(AP(B∪A→由 Poi sson过程的定义知道:P(BUA→=o(h→+故 P(B→=(xeA(Mh(X(-x-h/.4-MBb-a-b,o(1+则(S2S.-的联合概率 密度函数为:f(x,y→=limh→BP(Bfh=Nx(-xe-Ay/.IBm>E-·2运用公 式E(X→=E(X|YP(Y→E(XP(有1E(SN=E(SNt→=0P(Nt 0E(SNNt之aP(N(→∞即1∞A=(t/AeM,E(SNN(t→2(aeM 解得:E(N(→2+=/-(te-(-c-→3。由 Poisson过程定义= 在N(t→=∞的条件下=(Sn-t→与SN是独立的.故Sn与SN是独立的.又在 (t-=∞的条件下=SN是(0,上的均匀分布=而(Sn-t→是指数分布(无记忆性 * fs, s,(tNtn--Ae-AP2-t/tIletikit 第三章 3∞(x+解∞E(Xn+=EP(Xn=i→=(%N(Xn=iXN=jP(XN= jXE=3=3/9-2计算知:E(X川XN=+=EP(Xn=|XN=一=7/3 且E(XN=3→=EvP(Xn=i|XN=3→=8/3分布为:P(E(XnXN 7/3→=P(XN=…→=3P(E(Xn4N=8/3+=P(N=3+=·/3-3:计算
% #$ & 7 * A- + + A-%?Æ $ $ $ + D!?30ACD $ $ $ $ $ , 7@B30ACD J + A - 4- E 5 . $ ,-.(- Æ $ $ $ -+F / G0H, D+ $ / I $ $ $ $ +1 4- E $ $ $ $ $ + $ $ $$ $ $ $$ +1 5 . $ I $ $ $ J $ $ ! $ $ "# I $ $ @B30 ACD 2 $ $ $ 1 $ $ "# + D!? $ $ $ $ + D!? $ -F/ $ $ 5 . 3 0 0 ,K % % ,K
部分习题解答 知 2 3)=8.3.分布 为,(°(:N?a)=1)=,(:m=1)=1.3,(°(:N?a)=7.3)=,(:a=2) )=8.3)=,(a=3)=6.9.4程2)=程0)x12=(1 )解, 1r;=3)=0;,(T=2r;=3) 1m1=3)=1.9,(=3;=3)=,(N=16条11m1字;=3) 书:m=j=3)=2 3)=∑Mn(,(T 非=3)+4,(T∞4;=3)=∑M(,(T=非;=3)+41-,(T结4r;=3) 10027.8(3)解、由,义、察第=,(Tm= 呢第+输筹15 11(l(定 因此、°T三第定爱 第 37解1由程得程=0+0+O艘负程=0般程+0+0般及程 /的)角第 2.22362182艘,由程)=程x得 般0般0般 21.6223.6218.62 程0)=(21.62負3.62负8.62)时马氏链是平稳 第∑mn稻定)=121.62 且°(第=∑mn相定)=275.6,那么和第第-(:第007 3111c由马氏性对遍的/(c数,m第一(m,周第又 第非=写(对)=有(有中程()=当所 以、(中数,第一做数2令第数由上面证明,1第 是额令T=机斑定:第或第的参照第四章1理432可以证明T关于1第 是停时所以有°性=°V.又°性=平m有有分卓m(1-,有分°v=平 因此得,有分=(1-平(-中有 314证明、1我们记T第∑第。-记,则T第0是MC,状态空间而 而而,而-1负负为瞬时态集,而=-2负为吸收态集。,义、对=欢(1 q 0 对q=对-对状态转移矩阵为001-对对 q 1-对q对 对q对 0 1-对q 为瞬时态转移矩阵,有、、∑
% #$ & % % # # 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 , 1 # # # # # # # # # # K # # # # # # % # % # ! ! ! ! % % % % # # # % L=M89 # # !" L= !& # # 2 -N2 4 1 ! L 'O5Æ 1 7 2 P 2 2 2 2 QR 1 1 '( 6STM $ $ $ $ US: $ VWS: 3 6S78B) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 US78B)