第二单元 重积分的应用
第二单元 重积分的应用
本单元的内容要点 本单元讨论重积分在几何、物理中应用。 主要内容有: e1曲面的面积 2重心坐标 3转动惯量 4引力
一、本单元的内容要点 本单元讨论重积分在几何、物理中应用。 主要内容有： 1.曲面的面积 2.重心坐标 3.转动惯量 4.引力
本单元的教学要求 掌握重积分的各种应用
二、本单元的教学要求 掌握重积分的各种应用
曲面的面积 例设一底面为矩形的柱体被一平面所截,如果截面 的法向量为e=(B08y),底面位于xoy平面,则 截面的面积A与底面面积G有如下的关系: 0 证不妨设截面MPRQ与底面 MNOL的关系如图所示,点M N (ro yo 0)
曲面的面积 例 设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面 的法向量为 ，底面位于xoy平面，则 截面的面积A与底面面积σ 有如下的关系： e=(cosα,cosβ γ ,cos ) G x o z 1 . cos A σ γ = y N P Q R L M(x0,y0,0) 证 不妨设截面MPRQ与底面 MNOL的关系如图所示，点M
在xoy平面上,坐标为M(xamy,0),则平面方程为 cosa(x-x)+cos B(-Do)+COS y(2-0)=0 将点P的x,y坐标,y代入上式,得 cos d cosr 即点P的坐标为0 cos C 6,同样 cOS y 点R的坐标为(03),所以 N (ro yo 0)
在xoy平面上，坐标为M(x0,y0,0)，则平面方程为 0 0 cosα(x x − )+ − cosβ γ (y y )+cos (z −0) = 0. 将点P 的x, y坐标0, y0代入上式，得 0 cos . cos z x α γ = 即点P的坐标为 ，同样 x o z y N P Q R L M(x0,y0,0) 0 0 cos 0, , cos y x α γ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 点R的坐标为 0 0 ，所以 cos ,0, cos x y β γ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠