速度.与 该点上切 线之间的 角 年封闭 曲线k 天量 图4-5沿封闭曲线的速度环量 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。 通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左 侧，如图4-5所示。当沿顺时针方向绕行时，式(4-9)应加一负号。实际上， 速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反 映的是流体的有旋性。 由于=i+y+wk和d=dri+dy+dk,则 V.ds udx+vdy+wd= 代入式(4-9)，得 r=fv.ds=f(udx+vdy+wd=) (4-10) 2.旋涡强度 沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流 动为例找出这个关系。如图4-6所示，在平面xOy上取一微元矩形封闭曲线，其 面积dA=drdy,流体在A点的速度分量为u和v,则B、C和D点的速度分量分 别为： 4
图 4-5 沿封闭曲线的速度环量 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。 通常规定逆时针方向为 K 的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左 侧，如图 4-5 所示。当沿顺时针方向绕行时，式（4-9）应加一负号。实际上， 速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线 K 运动的总的趋势的大小，或者说所反 映的是流体的有旋性。 由于 V ui vj wk = + + 和 s xi yj zk d = d + d + d ，则 V ds = udx + vdy + wdz 代入式（4-9），得 = = + + K K V ds (udx vdy wdz) (4-10) 2．旋涡强度 沿封闭曲线Ｋ的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系，现仅以平面流 动为例找出这个关系。如图 4-6 所示，在平面 xoy 上取一微元矩形封闭曲线，其 面积 dA = dxdy ，流体在 A 点的速度分量为 和 ，则 B、C 和 D 点的速度分量分 别为： x x u uB u d = + y y v x x v vC v d d + = +
+2+4 图4-6沿微元矩形的速度环量 于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量 ddradydrady 将4、a、4e、4o和yVgV、V各值代入上式，略去高于一阶的无 穷小各项，再将式(43)的第三式代入后，得 dr=Dv_udrdy=20.d4 (4-11) 然后将式(4-11)对面积积分，得 r=2j∬o.d4 (4-12) 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速 度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度 L,即 d=2m,d4和1=2o,d44-13) 式中o.:而在微元面积d4的外法线n上的分量， 由式(4-11)可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以2表示之。它定义
x x v vB v d = + y y u uD u d = + y y u x x u uC u d d + = + y y v vD v d = + 图 4-6 沿微元矩形的速度环量 于是，沿封闭曲线反时针方向 ABCDA 的速度环量 − + + + = y v v x u u d 2 d 2 d A B B C y v v x u u d 2 d 2 C D D + A − + 将 A、 B、 C 、 D 和 A、 B、 C、 D 各值代入上式，略去高于一阶的无 穷小各项，再将式（4-3）的第三式代入后，得 x y A y u x v dΓ d d = 2zd − = (4-11) 然后将式（4-11）对面积积分，得 Γ = 2 zdA (4-12) 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理：沿封闭曲线的速 度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，称之为旋涡强度 I，即 dI = 2ndA 和 I = 2 ndA (4-13) 式中 n： 在微元面积 dA 的外法线 n 上的分量。 由式（4-11）可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以 Ω 表示之。它定义
为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在乙轴方向的分量为 对于流体的空间流动，同样可求得X和Y轴方向涡量的分量和。于是 得 Q,=O 0v 0,-0-0 (4-14) 2=2o=V×V (4-15) 也就是说，在有旋流动中，流体运动速度的旋度称为涡量。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有 旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何 封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流 动和无旋流动的区别。 【例4-1】一个以角速度0按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如 图4-7所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动· (解) 【例4-2】一个流体绕0点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度 的大小与该点半径成反比，即V=Cr,其中C为常数，如图4-8所示。试求在 流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。（解） 【解】在流场中对应于任意两个半径和rz的圆周速度各为=or和 =O,沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量 TABCDA TAn+Iac+rD+roa=V30-Vine=0(V-Vin)=00(-) 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积
为单位面积上的速度环量，是一个矢量。它在 Z 轴方向的分量为 z z y u x v A Γ Ω 2 d d = − = = 对于流体的空间流动，同样可求得 X 和 Y 轴方向涡量的分量 和 。于是 得 = − = = − = = − = z z y y x x y u x v Ω x w z u Ω z v y w Ω 2 2 2 （4-14） 即 Ω V = 2 = （4-15） 也就是说，在有旋流动中，流体运动速度 的旋度称为涡量。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有 旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何 封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义，以及有旋流 动和无旋流动的区别。 【例 4-1】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如 图 4-7 所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动 . (解) 【例 4-2】 一个流体绕 O 点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度 的大小与该点半径成反比，即 V =C r ，其中 C 为常数，如图 4-8 所示。试求在 流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。(解) 【解】 在流场中对应于任意两个半径 r1和 r2 的圆周速度各为 1 1 V = r 和 2 2 V = r ，沿图中画斜线扇形部分的周界 ABCDA 的速度环量 ( ) ( ) 2 1 2 ABCDA AB BC CD DA 2 2 1 1 2 2 1 1 2 Γ = Γ + Γ + Γ + Γ =V r −V r = V r −V r = r − r 可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积
4=jrr=26- 于是「ABDA=2a4 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 图4-7有旋流动中速度环量的计算 图4-8无旋流动中速度环量的计算 【解】沿扇形面积周界的速度环量 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心0的区 域内，例如ABCD'A'。若包有圆心(r=0),该处速度等于无限大，应作例外 来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量r=Sd0=2C=常数。上 式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所 以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零， 故在圆心0点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。 第三节无旋流动的速度势函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零，即满足 V×P=0的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。 一、速度势函数引入
( ) 2 d 2 1 2 2 2 1 A r r r r r r = = − 于是 ΓABCDA = 2A 上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 图 4-7 有旋流动中速度环量的计算 图 4-8 无旋流动中速度环量的计算 【解】 沿扇形面积周界的速度环量 1 0 1 2 2 ABCDA = AB + BC + CD + DA = − r = r C r r C Γ Γ Γ Γ Γ 可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心 O 的区 域内，例如 ABCDA 。若包有圆心( r = 0 )，该处速度等于无限大，应作例外 来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量 = = = 2 0 rd 2 C 常数 r C Γ 。上 式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所 以是有 旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零， 故在圆心 O 点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。 第三节 无旋流动的速度势函数 如前所述，在流场中流体微团的旋转角速度 在任意时刻处处为零，即满足 V = 0 的流动为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。 一、速度势函数引入
由数学分析可知，V×P=0是udr+dy+wd成为某一标量函数 p(x,y,)全微分的充分必要条件。则函数0称为速度势函数。因此，也可 以说，存在速度势函数的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函 数p的全微分可写成 于是得 (4-16) 按矢量分析 (4-17) 对于圆柱坐标系，则有 1ap (4-18) 于是 do=vdr+vorde+v.d= 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动 还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 二、速度势函数的性质 (1)不可压缩流体的有势流动中，势函数p满足拉普拉斯方程，势函数0是 调和函数。 将式(4-16)代入到不可压缩流体的连续性方程(3-28)中，则有 -V0-0 =。++为拉普拉斯算子，式(419)称为拉普拉斯方
由数学分析可知， V = 0 是 udx + vdy + wdz 成为某一标量函数 (x，y，z，t) 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数。因此，也可 以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函 数 的全微分可写成 z z y y x x d d d d + + = 于是得 z w y v x u = = = ， ， （4-16） 按矢量分析 = grad + + = + + = k z j y i x V ui vj wk （4-17） 对于圆柱坐标系，则有 z v r v r vr z = = = ， ， 1 （4-18） 于是 v r v r v z d = rd + d + zd 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动 还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 二、速度势函数的性质 （1）不可压缩流体的有势流动中，势函数 满足拉普拉斯方程，势函数 是 调和函数。 将式（4-16）代入到不可压缩流体的连续性方程（3-28）中，则有 0 2 2 2 2 2 2 2 = = + + x y z 式中 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + = 为拉普拉斯算子，式（4-19）称为拉普拉斯方程，所以