在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉 斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一 种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的 拉普拉斯方程的问题。 (2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数？值之差。而与 曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线B的线积分 Tx-SVd5-S(udx+vdy+wd)-fdo-0-01 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线， 若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的 速度环量等于零，即「=0。 第四节二维平面流动的流函数 一、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为du=dy,将其改写成下列形 式 -vdx+udy =0 (4-20) 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方 程，即 0 (4-21) 由数学分析可知，式(4-21)是(-dr+dy)成为某函数全微分的充分必 要条件，以y(x,y)表示该函数，则有 dp-器a+影=+ (4-22)
在不可压流体的有势流动中，速度势必定满足拉普拉斯方程，而凡是满足拉普拉 斯方程的函数，在数学分析中称为调和函数，所以速度势函数是一个调和函数。 从上可见，在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一 种特殊形 式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的 拉普拉斯方程的问题。 （2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数 值之差。而与 曲线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线 AB 的线积分 B A B A B A B A AB = Vds = udx + vdy+ wdz = d = − ( ) 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭曲线， 若 A 点和 B 点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的 速度环量等于零，即 AB = 0 。 第四节 二维平面流动的流函数 一、流函数的引入 对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 dx u = dy v ,将其改写成下列形 式 − vdx + udy = 0 （4-20） 在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方 程，即 = 0 + y v x u 或 y v x u = − （4-21） 由数学分析可知，式（4-21）是（− vdx + udy ）成为某函数全微分的充分必 要条件，以 （x，y） 表示该函数，则有 y v x u y y x x d d d = − d + d + = （4-22）
函数称为流场的流函数。由式(4-22)可得 (4-23) 由式(4-22)，令dw=0,即w=常数，可得流线微分方程式(4-20)。由此可 见，y(x,y)=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或 者说，只要给定流场中某一固定点的坐标(，。)代入流函数,便可得到 条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，可写成 器 (4-24) du=-vodr+vrde (4-25) 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分 得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数w(x,y),由式 (4-23)或式(4-24)就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的 连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体， 必然存在流函数。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动， 不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。 二、流函数的性质 (1)对于不可压缩流体的平面流动，流函数山永远满足连续性方程。 将式(4-23)代入式(4-21)得 a的wa2w dyox"dxoy 即流函数永远满足连续性方程。 (2)对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数 也是调和函数
函数称为流场的流函数。由式（4-22）可得 x v y u = − = ， （4-23） 由式(4-22)，令 d = 0 ，即 = 常数，可得流线微分方程式(4-20)。由此可 见, （x，y）= 常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或 者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（ 0 0 x ，y ）代入流函数 ，便可得到一 条过该点的确定的流线。因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。 对于极坐标系，可写成 = r vr 1 r v = − （4-24） d = −vdr + vr rd （4-25） 在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数一样，可由曲线积分 得出。 至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数 （x，y） ，由式 （4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的 连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是黏性流体， 必然存在流函数 。 这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动， 不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。 二、流函数的性质 （1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数 永远 满足连续性方程。 将式（4-23）代入式（4-21）得 y x xy = 2 2 即流函数永远满足连续性方程。 （2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数 满足拉普拉斯方程，流函数 也是调和函数