udt 图4-3流体微团平面运动的分解(a) y dy dx A B 图4-3流体微团平面运动的分解(6) 图4-3流体微团平面运动的分解(c)
图 4-3 流体微团平面运动的分解(a) 图 4-3 流体微团平面运动的分解(b) 图 4-3 流体微团平面运动的分解(c)
图4-3流体微团平面运动的分解(d) 3、角变形运动 在图4-2中，比较D和A、C和B在x方向及B和A、C和D在y方向的速度 可知，若速度增量均为正值，流体微团在d,时间内发生图4-3(c)所示的角变 形运动。由图可见，由于D点和A点、C点和B点在x方向的运动速度不同，致 使AD流体边在d,时间内顺时针转动了da角度：由于B点和A点、C点和D点在 y方向的速度不同，致使AB流体边在d:时间内逆时针转动了d。角度。于是，两 正交流体边AB和AD在d.时间内变化了(d。+dn)角度。显然，微元角度dn和 d,可由下列公式求得 加a-器-器h n=o0-等-影 通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度， 而把该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量（角变形速度的平均值）定义为 剪切变形速率。则在y平面上，将流体微团的剪切变形速率记为e,(e,=￡.)因 此有
图 4-3 流体微团平面运动的分解(d) 3、角变形运动 在图 4-2 中，比较 D 和 A、C 和 B 在 x 方向及 B 和 A、C 和 D 在 y 方向的速度 差可得： dx x dx x dy y dy y D A C B B A C D − = − = − = − = , , , 。由此 可知，若速度增量均为正值，流体微团在 dt时间内发生图 4-3（c）所示的角变 形运动。由图可见，由于 D 点和 A 点、C 点和 B 点在 x 方向的运动速度不同，致 使 AD 流体边在 dt时间内顺时针转动了 d 角度；由于 B 点和 A 点、C 点和 D 点在 y 方向的速度不同，致使 AB 流体边在 dt时间内逆时针转动了 d 角度。于是，两 正交流体边 AB 和 AD 在 dt时间内变化了（ d + d ）角度。显然，微元角度 d 和 d 可由下列公式求得 dt x dxdt dx x d tgd = = / dt y dydt dy y d tgd = = / 通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形速度， 而把该夹角变化的平均值在单位时间内的变化量（角变形速度的平均值）定义为 剪切变形速率。则在 xy 平面上，将流体微团的剪切变形速率记为 ( ) xy xy yx = 因 此有
船别 5-6,得) -是器劉 上述即为式(4-2)及其物理含义。式(4-4)中的第三、第四项所表示的便 是由该剪切变形所引起的速度变化。 由图4-3(c)可知，流体微团在d,时间内出现了角变形运动。若微元角度 d。=da,则流体微团只发生角变形：若d。=-dg,即av1x=u/@,则流体微 团只发生旋转，不发生角变形，如图4-3()所示。一般情况下，d≠d, 流体微团发生角变形的同时，还发生旋转运动。 在旋转运动中，用符号。表示流体微团旋转角速度的大小，其定义为：过流 体微团上A点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称 作A点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。如图4-3（©）所示， 在xy平面上，过A点的两正交流体边AB和AD,AB边在d:时间内逆时针旋转 了微元角度d。,AD边在d,时间内顺时针旋转了微元角度d。,通常规定以逆时 针旋转为正，则该两条正交微元流体边在xy平面内的旋转角速度的平均值为 2da-d0/d山，于是得流体微团沿z轴方向的旋转角速度分量为 )g器 同理可求得流体微团沿x轴方向和y轴方向旋转角速度的分量口，和。，。于是， 以流体微团A点为轴的旋转角速度。的三个分量分别为 160 ov @,=在) 。是)
+ = = x y xy yx 2 1 + = = y z yz zy 2 1 + = = z x zx xz 2 1 上述即为式（4-2）及其物理含义。式（4-4）中的第三、第四项所表示的便 是由该剪切变形所引起的速度变化。 由图 4-3（c）可知，流体微团在 dt时间内出现了角变形运动。若微元角度 d = d ，则流体微团只发生角变形；若 d = −d ，即 / x = / y ，则流体微 团只发生旋转，不发生角变形，如图 4-3（d）所示。一般情况下， d d ， 流体微团发生角变形的同时，还发生旋转运动。 在旋转运动中，用符号 表示流体微团旋转角速度的大小，其定义为：过流 体微团上 A 点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值，称 作 A 点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量。如图 4-3（c）所示， 在 xy 平面上，过 A 点的两正交流体边 AB 和 AD , AB 边在 dt时间内逆时针旋转 了微元角度 d， AD 边在 dt 时间内顺时针旋转了微元角度 d ，通常规定以逆时 针旋转为正，则该两条正交微元流体边在 xy 平面内的旋转角速度的平均值为 (d d )/ dt 2 1 − ，于是得流体微团沿 z 轴 方 向 的 旋 转 角 速 度 分 量 为 − = − = dt x y d d z 2 1 2 1 同理可求得流体微团沿 x 轴方向和 y 轴方向旋转角速度的分量 x 和 y 。于是， 以流体微团 A 点为轴的旋转角速度 的三个分量分别为 − = y z x 2 1 − = z x y 2 1
。剖 o=o+oj+o (4-6) 写成矢量形式为 o=o,i+o,j+a.k=(v× (4-7) 上述即为式(4-3)及其物理含义。式(4-4)中的第五、第六项所表示的便是由 该旋转运动所引起的速度变化。 综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、 旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、 线变形速率和剪切变形速率。 第二节有旋流动和无旋流动 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在 流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称 为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则 称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅 仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹 无关，在图4-4()中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转， 故它是无旋流动：在图4-46)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自 身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活 动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但 是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转
− = x y z 2 1 2 2 2 = x +y +z （4-6） 写成矢量形式为 ( ) 2 1 =x i +y j +z k = V (4-7) 上述即为式（4-3）及其物理含义。式（4-4）中的第五、第六项所表示的便是由 该旋转运动所引起的速度变化。 综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、 旋转运动、线变形运动及角变形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、 线变形速率和剪切变形速率。 第二节 有旋流动和无旋流动 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在 流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称 为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则 称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅 仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹 无关，在图 4-4(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转， 故它是无旋流动；在图 4-4(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自 身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活 动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但 是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转
(b) 无旋 图44流体微团运动 判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足 0,=0,=0.=0 根据式(4-3)，则有 OwBv au ow Bvou aya正'd证ar'xay (4-8) 二、速度环量和旋涡强度 1.速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一一 速度环量。 在流场中任取封闭曲线k,如图4-5所示。速度v沿该封闭曲线的线积分称 为速度沿封闭曲线k的环量，简称速度环量，用「表示，即 r=fv.d=fvcosads 式中：下一一在封闭曲线上的速度矢量： α一一速度与该点上切线之间的夹角 速度环量是个标量，但具有正负号
图 4-4 流体微团运动 判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足 x =y =z = 0 根据式（4-3），则有 , z v y w = , x w z u = y u x v = （4-8） 二、速度环量和旋涡强度 1．速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一—— 速度环量。 在流场中任取封闭曲线 k，如图 4-5 所示。速度 沿该封闭曲线的线积分称 为速度沿封闭曲线 k 的环量，简称速度环量，用 表示，即 = = K K V ds v cosds 式中: ——在封闭曲线上的速度矢量； ——速度与该点上切线之间的夹角。 速度环量是个标量，但具有正负号