求最佳平方逼近函数 S(x)=a·,(x)的问题,使多元函数可归结为求它的系数a,ai，…,a,nI(ao, a1, , a,)= I" p(x)[f(x)-Za,;g;(x)'dxj=0取得极小值。a,的二次函数，I (ao, aj,..., an)是关于ao,ai, ..., (利用多元函数取得极值的必要条件，al=0(k = 0, 1, 2, ..., n)Oakal1=2]' p(x)[f(x)-Za;g;(x)[-9k(x)]dx = 0dakj=0Za, J" p(x)P(x)9;(x)dx=I" p(x)(x)k(x)dx,得上页j=0下页(k = 0, 1, 2, ..., n返圆
上页 下页 返回 求最佳平方逼近函数 ( ) ( ) 的问题, 0 * * S x a j x n j j I a a a x f x a j x dx n j j b a n 2 0 0 1 ( , , , ) ( )[ ( ) ( )] 取得极小值。 I (a0 , a1 , .，an ) 是关于a0 , a1 , .，an的二次函数， * * 1 * 0 , , , 可归结为求它的系数 a a an 使多元函数 利用多元函数取得极值的必要条件， 0 k a I (k = 0, 1, 2, ., n) 2 ( )[ ( ) ( )][ ( )] 0 0 x f x a x x dx a I j k n j j b a k 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 a x x x dx x f x k x dx b a k j b a n j j (k 0, 1, 2, , n)
如采用函数内积记号(Pk,P,)= fp(x)Pr(x)p,;(x)dx,(f, Pk)= f" p(x)f(x)Pr(x)dx,方程组可以简写为Z(Pr,P,)a, =(f,Pk)(k = 0, 1, 2, ..., n)j=0写成矩阵形式为((f,Φ)(a(Po,Po)(Po,)... (Po,Pn)(f,Φ)(Po1,Po)(P1,)... (P1,n)a,-上页下页((f,n)(Pn,Po)(Pn,P)... (Pn,Pn)(an)返圆
上页 下页 返回 如采用函数内积记号 ( , ) (x) (x) (x)dx, k j b a k j 方程组可以简写为 ( , ) ( , ) ( 0, 1, 2, , ) 0 j aj f k k n n j k ( f , ) (x)f (x) (x)dx, k q a k 写成矩阵形式为 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 n n n n n n n n f f f a a a
由于Po,1,……，Pn线性无关，故G,≠0，于是上述方程组存在唯一解：(k = 0, 1, .., n)ak=ak从而得到 S(x)=ajg;(x)i=0可以证明，上述S*(x）一定是最佳平方逼近函数。若令(）f(）一S（），则平方误差为8()(f(r)"(),f()-S*))(f(x),f(r))(s"(x),f(α)) f()lZai ((),f())6上页下页返圆
上页 下页 返回 由于0 , 1 , ., n线性无关， ( 0, 1, , ) * ak ak k n 从而得到 ( ) ( ) 0 * * S x a j x n j j 可以证明，上述 S*(x) 一定是最佳平方逼近函数。 于是上述方程组存在唯一解： 故Gn 0
若取9（）=o(r）l，f(r)ECLo1则要在Hn中，求n次最佳平方逼近多项式S'(r)ao+air+..+arr"1此时（（r），（））idk+i+1(f(a),(α)）f()dz=d若用H表示G，G（1，工，*，元）对应的矩阵，1/211/(n+1)1/21/31/(n→2)H=....(1/(n+1）1/(n+2)1/(2n+1).+-称为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记 a=(ao,a,...,a,), d=(do,d,.,d,),上页下页则Ha=d的解a=ak=(O,l,…，n)即为所求返圆
上页 下页 返回 则要在Hn中，求n次最佳平方逼近多项式 此时 则 Ha d , , , , 0 1 T a （a a an ） , , , , 0 1 T 记 d （d d dn ） (0 1 ) . 的解ak ak * k ，，n 即为所求
例求f(x)=x4 (xe[-1,1)在空间 =spanl，x，x2}上的最佳平方逼近多项式，并给出平方误差解设欲求多项式s*(x)=a+ax+azx，则0,k+j为偶数11.k+j+12k+idx(p;(x), P(x)=Yk+j为奇数-1k+j+1k+j+10,k为奇数2d =(f(x), (x)= [,xk+4dx=k为偶数k+5解方程组Ha=d上页下页返回
上页 下页 返回 . ( ) ( [ ]) 最佳平方逼近多项式， 并给出平方误差 例1 求 f x x 4 x 1，1 在空间 span 1，x，x 2 上的 解 设欲求多项式S * (x) a0 a1 x a2 x 2 ，则 , , 1 2 0 , 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ) d 1 1 1 为奇数 为偶数 ， k j k j k j x k j x x x x k j k j j k . , 5 2 0 ( ( ) ( )) d 1 1 4 为偶数 ， 为奇数 ， ＝ k k k d f x x x x k k k 解方程组 Ha d