4性质 ()J(x,)(x,)=』f(x,y)士8(x)h (2)6(x)=(x)(为常数 丰6)xM5 (L=L1+L2) 上页
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=φ(t), (a≤t≤B)其中 Ly=y(t) q(t),y()在a,B上具有一阶连续导数,且 (a<B) 上页
三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续
士 注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限; 2.∫(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. b Lf(, y)ds =]flx,(x)I1+v 2(x)dx(a<b) 上页
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = + (a b)
(2)L:x=φ(y)c≤y≤d. 生』x)=no)y+90 2(y)y (c<d) 推广:r:x=φ(t),y=y(t),z=o(t).(a≤t≤B f(x, y, z)ds B flo(t),y(t),o(tl2(t)+y2(t)+@2(t)dt (a<B) 上页 圆
推广: : x = (t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = + (c d )
#f I=2acost b sint - t)2+(b cos t) 2dt 0 =ab 2 sintcostva' t+bcos tdt 0 ab ra 22 u du (Au=va'sin2t+b2 cost ab(a+ab+6) 3(a+b) 上页
例 1 ( ). sin , cos , 求 , :椭圆 第象限 == = y b t x a t I xyds L L 解 I a t b t a t b t dt 2 2 20 = cos sin (− sin ) + ( cos ) ab t t a t b tdt 2 2 2 2 20 = sin cos sin + cos − = ab u du a b ab 2 2 2 ( sin cos ) 2 2 2 2 令u = a t + b t . 3( ) ( ) 2 2 a b ab a ab b + + + =