、罗尔(Role)定理 罗尔(Ro|)定理如果函数f(x在闭区间|abl 上连续2在开区间a,b)内可导在区间端点的函数 值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 5a<5<b.使得函数f(x)在该点的导数等于零 工工工 即f(2)=0 例如,f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1) 祖-13上连续,在(13上可导,且(+1)=f(3)=0, ∴f'(x)=2(x-1),取ξ=1,(1∈(-1,3))∫'(2)=0 上页
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, f (x) = 2(x −1), 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0
几何解释: C y=∫(x) 在曲线弧AB上至少有一 """"" 点C,在该点处的切线是 水平的 0 a s2 bx 上页
几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 水平的 点 在该点处的切线是 在曲线弧 上至少有一 C AB C
证∴f(x)在[a,b连续,必有最大值M和最小值m (1)若M=m.则f(x)=M 由此得f∫(x)=0.V8∈(a,b),都有∫(2)=0. (2)若M≠m.∵f(a)=f(b), 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a), 则在(a,b)内至少存在一点ξ使∫()=M ∫(ξ+△x)≤∫(),∴∫(ξ+△x)-∫(ξ)≤0, 王页下
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
王若△>,.则有/(+4△)-⑤≤ △x 若Ax<0,则有(+Ax)-f(z △v 5)=mJ(+△x)-f(z0; △v→-0 △ ∫1(ξ)=Iim f(号+△x)-∫() ≤0;∵∫′(ξ)存在, △v→+0 △v :(=(∴只有(3)=0 上页
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0
注意若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 上结论可能不成立 例如,y=x,x∈|-2,2]; 在[-2,2止上除∫(0)不存在外,满足罗尔定理的 一切条件,但在内找不到一点能使f(x)=0 又例如, y=1-x,x∈(0,1,f(0)=0; y=x,x∈10,1 上页
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, y = x , x[−2,2]; , [ 2,2] (0) , 一切条件 在 − 上除f 不存在外 满足罗尔定理的 但在内找不到一点能使f (x) = 0. y = 1− x, x(0,1], f (0) = 0; y = x, x[0,1]. 又例如