高等数学《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第八章 重积分

庄性质6设M、m分别是f(x,在闭区域D上的 最大值和最小值,σ为D的面积,则 mos[f(x,y)dosMo D (二重积分估值不等式) 性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ为D 的面积,则在D上至少存在一点(,)使得 ∫(x,y)h=/(5,n)a D (二重积分中值定理) 反回

设M、m分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则 性质６ 设函数 f (x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 性质７ （二重积分中值定理）       D m f (x, y)d M       f (x, y)d f ( , ) D （二重积分估值不等式）

例1不作计算,估计=“)的值, 2 其中D是椭圆闭区域:2+2=1(0<b<a 解区域D的面积=ab兀 在D上:0≤x2+yS4 1=e0≤ext”≤e 由性质6知σ≤!e( ado≤a:e", D abπ ∫e x+ydU≤ab兀e D 反回

例 1 不作计算，估计 I e d D x y    ( ) 2 2 的值， 其中D是椭圆闭区域： 1 2 2 2 2   b y a x (0  b  a). 在D上 2 2 2 0  x  y  a , 1 , 2 2 2 0 x y a   e  e  e  由性质 6 知 , 2 2 2 ( ) a D x y  e d   e      解     e d D ( x y ) 2 2 ab . 2 a abe 区域 D 的面积  ab

王士 例2估计I= d 的值, B、x2+y2+2xy+16 c其中D:0≤xs1,0sy≤2 解∵∫(x,y)= x+y)2+16,区域面积=2, 在D上∫(x,y)的最大值M=,(x=y=0) c∫(x,y)的最小值m= 3+42=5(x=1y=2) 2 2 故≤I≤→0.4≤I≤0.5 5 4 上

例 2 估计      D x y xy d I 2 16 2 2  的值， 其中 D： 0  x  1, 0  y  2. 区域面积  2, , ( ) 16 1 ( , ) 2    x y  f x y 在D上 f (x, y)的最大值 ( 0) 4 1 M  x  y  f ( x, y)的最小值 5 1 3 4 1 2 2   m  (x  1, y  2) 故 4 2 5 2  I   0.4  I  0.5. 解

生例3判断』m(x2+y)dxd的符号 rsx+ys1 庄解当sx+ys1时,0<x2+y25(x+p25 故ln(x2+y2)≤0; 又当x4+/y1<1时,mn(x2+y2)<0, 于是m(x2+y2)xpy<0 rsx+ysI 反回

例 3 判断      1 2 2 ln( ) r x y x y dxdy的符号. 当r  x  y  1时, 0 ( ) 1, 2 2 2  x  y  x  y  故 ln( ) 0 2 2 x  y  ; 又当 x  y  1时, ln( ) 0, 2 2 x  y  于是 ln( ) 0 1 2 2    r x  y  x y dxdy . 解

例4比较积分mx+y)与jm(x+p D 出的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0, (1,1),(2,0) 解三角形斜边方程x+y=2 在D内有1≤x+y≤2<e, D 工工 故In(x+y)<1, 12 于是ln(x+y)>[n(x+y), 因此∫n(x+p)lo>m(x+p)do D D 反回

例 4 比较积分  D ln( x y)d 与  D x y d 2 [ln( )] 的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). 解 三角形斜边方程 x  y  2 在 D 内有 1  x  y  2  e, 故 ln( x  y)  1, 于是   2 ln( x  y)  ln( x  y) , 因此    D ln( x y)d   D x y d 2 [ln( )] . o x y 1 1 2 D