高等数学《高等数学》课程电子教案（PPT课件讲稿）第八章 重积分

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分 记为f(x,y)do, 即 f(x,klim∑f(5,n)△a →0 【=」 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 表元分 域数量 达素和 式 反回

如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f ( x, y)d ， 即 D f ( x, y)d i i n i i f          lim ( , ) 1 0

对二重积分定义的说明: (1在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的 (2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 中当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 二当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 反回

(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

在直角坐标系下用平 F行于坐标轴的直线网来划 分区域D, H### 上则面积元素为do=dxdy 故二重积分可写为 士 f(x,y)d引f(x,y) D D 反回

在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，     D D f ( x, y)d f ( x, y)dxdy d  dxdy 故二重积分可写为 x y o 则面积元素为

生三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当k为常数时, ∫(,yd=k(x,y)la D D 性质2f(x,y)±g(x,y)da D f(x,y)d± g(x,y)dσ 反回

性质１ 当 k为常数时， ( , ) ( , ) .    D D kf x y d k f x y d 性质２   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) .     D D f x y d g x y d （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质

性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) 生/(x,)g=(xy+(xya D 性质4若a为D的面积,σ=1.d=do 工工 性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y), 则有f(x,y)dasg(x,y)do D D 特殊地∫/(x, y)dolf(x,y)do D 反回

性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若  为D的面积， 1 .      D D  d d 性质５ 若在D上 f (x, y)  g(x, y), ( , ) ( , ) .    D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d ( ) D  D1  D2 则有