都收敛(2)T一收敛的充分必要条件是产与艺b=I1=（3）级数艺=，收敛的必要条件是lim2==0,84.2复变函数项级数(Series of functionof complexvariable)一、复变函数项级数（ComplexFunctionSeries）设f,(-)n=1,2,）在复平面区域D内有定义，称其为复变函数序列，记为（(f,(=).称表达式2 f.() = f()+ f()+ f()+..(1)-为区域D内的复变函数项级数.其前n项和S,(α)= f()+ f()+...+ f,()称为（1）的部分和若对点zeD，lim S,(=)=S(a)，则称J,(=)在点zeD收7=敛于S(a)，称Zf,(=)在区域D内收敛于 S(a).也称 S(a)为级n=数f.(=)的和函数1=例3在区域|zk1内，函数项级数1+z+z2+...+="+收敛于即
（2） + n=1 n z 收敛的充分必要条件是 + n=1 an 与 + n=1 bn 都收敛. （3）级数 + n=1 n z 收敛的必要条件是 lim = 0, →+ n n z §4.2 复变函数项级数 (Series of function of complex variable) 一、复变函数项级数(Complex Function Series) 设 f (z)(n =1,2, ) n 在复平面区域 D 内有定义, 称其为复 变函数序列, 记为 f n (z).称表达式 = =1 ( ) n n f z f 1 (z)+ f 2 (z)+ f 3 (z)+ （1） 为 区域 D 内的复变函数项级数.其前 n 项和 S (z) f (z) f (z) f (z) n = 1 + 2 ++ n 称为（1）的部分和. 若对点 z D , S (z) S(z) n n = → lim ，则称 =1 ( ) n n f z 在点 z D 收 敛于 S(z) ,称 =1 ( ) n n f z 在区域 D 内收敛于 S(z).也称 S(z) 为级 数 =1 ( ) n n f z 的和函数 例 3 在区域 | z | 1 内，函数项级数 1 . . 2 + + + + + n z z z 收敛于 1− z 1 ，即
[zk11+z+z2+z"+定义：若V>O,3N>O,当n>N时，对一切zEE有Zf()-f(a)kek=lf,(=）在 E上一致收敛于(-),则称n=i一致收敛的Cauchy收敛准则(Uniform convergence of Cauchy convergence criterion)J,(=)在E上一致收敛当且仅当Ve>0,N>0，当n>N-有1时，对一切pEN，-切ZEE,fu+()+ f+2()+... fu+r(2) 1 < 8.优级数准则（Excellentseriesstandards)α。为一收敛的正项级数，且「T,(3)Iα，=设P则J,()在E上一致收敛ZEE.1.2、...n=l级数f,(-)的和函数f(a)有如下性质：n=l连续性（Continuity）NJ,(=)在设f,()n=1,2,..在复平面点集E上连续，并且1=E上一致收敛于f()，则f()在E上连续
z z z z n − + + + + + = 1 1 1 . . 2 | z | 1 定义: 若 > 0,N > 0, 当 n > N 时, 对一切 z E, 有 − = | ( ) ( ) | 1 f z f z n k k 则称 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛于 f (z). 一致收敛的 Cauchy 收敛准则 (Uniform convergence of Cauchy convergence criterion) =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛当且仅当 > 0,N > 0, 当 n > N 时 , 对一切 p N , 一 切 z E, 有 | f (z) f (z) f (z) n+1 + n+2 + n+ p | < . 优级数准则 (Excellent series standards) 设 n=1 n 为一收敛的正项级数, 且 | f (z) n | n, n = 1,2, , z E. 则 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛. 级数 =1 ( ) n n f z 的和函数 f (z) 有如下性质： 连续性(Continuity) 设 f n (z),n =1,2, 在复平面点集 E 上连续, 并且 =1 ( ) n n f z 在 E 上一致收敛于 f (z), 则 f (z) 在 E 上连续
可积性（Integrability）设f,(),n=1,2,...在简单曲线c上连续，并且级数J()在C7=上一致收敛于f()，则 [f,(=)dz=[f(=)dz7=1内闭一致收敛(Uniformconvergenceinclosed)设函数f(-),n=1,2,...在复平面上区域D内解析，如果T.(z)在D内的在一有界闭区域上一致收敛，则称f.(2)n=lT=在D中内闭一致收敛魏尔斯特拉定理（Theorem，StellaofEr，Wei）2f,(E) 在设函数f,(-),n=1,2.…．在区域D内解析，并且=D内内闭一致收敛于f()。则(1）f(=)在D内解析，并且在D内(2) f(P(2)=Zr(P)(2) (zED,p=1,2,...)n=l二、级数(PowerSeries)形如Zα,(=-。)"=α +α(=-=)+α,(=-=)+.α,(2-=0)"+. (1)的复变函数项级数称为幂级数,其中α，(n=0,1,2,..)均为复数.显然，（1）在点z收敛
可积性(Integrability) 设 f n (z),n =1,2, 在简单曲线 C 上连续, 并且级数 =1 ( ) n n f z 在 C 上一致收敛于 f (z) , 则 = n= c c f n (z)dz f (z)dz 1 内闭一致收敛(Uniform convergence in closed) 设函数 f n (z),n =1,2, 在复平面上区域 D 内解析, 如果 =1 ( ) n n f z 在 D 内的在一有界闭区域上一致收敛, 则称 =1 ( ) n n f z 在 D 中内闭一致收敛. 魏尔斯特拉定理（Theorem, Stella of Er, Wei） 设函数 f n (z),n =1,2, 在区域 D 内解析, 并且 =1 ( ) n n f z 在 D 内内闭一致收敛于 f (z) . 则 （1） f (z) 在 D 内解析, 并且在 D 内 （2） = = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n p n p f z f z ( z D , p= 1,2, ) 二、幂级数(Power Series) 形如 ( ) ( ) ( ) . ( ) . 0 2 0 1 0 2 0 0 − 0 = + − + − + + − + + = n n n n n z z z z z z z z （1） 的复变函数项级数称为幂级数,其中 (n = 0,1,2, ) n 均为复数. 显然，（1）在点 0 z 收敛
首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abe1）定理：定理（Theorem）4.5如果幂级数α,(=-=)在z(+zo)收n=0敛，则幂级数（1）在圆域|z-zKz-z1内绝对收敛证明：设=为圆域|z-zz,-z内任一点，因为幕级数α(=-2)"在z(±z)收敛，所以有n=0lim α,(zj-z0)"=0,因此存在着有限常数M，使得lα,(,-=)"M(n=0,1.)则有<N[α,(z-z0)"Hα,(1-z0)"2,-202,-Z0由于级数-收敛,所以此幂级数在满足z0l"z-z的任何点z不仅收敛，而且绝对收敛推论(Inference)如果幂级数艺α,(=-=)"在z(+z)发散，n=0那么对满足|z-zz1-z1的任何它都发散证明：用反证法，设=为满足=一2。z,-2。1内任一点，若幂级数（1）在点=收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知Zα,(5j-=0)"n=0
首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abel）定理： 定理（Theorem）4.5 如果幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 收 敛，则幂级数（1）在圆域 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内绝对收敛. 证明：设 z 为圆域 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内任一点， 因为幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 收敛，所以有 lim ( 1 − 0 ) = 0 →+ n n n z z ， 因此存在着有限常数 M ，使得 | ( ) | ( 0,1,.) z1 − z0 M n = n n . 则有 n n n n n n z z z z M z z z z z z z z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 | ( ) | | ( ) | − − − − − = − 由于级数 + = − − 0 1 0 0 k Z Z Z Z M 收敛，所以此幂级数在满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何点 z 不仅收敛，而且绝对收敛. 推论(Inference)如果幂级数 + = − 0 0 ( ) n n n z z 在 ( ) 1 0 z z 发散， 那么对满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 的任何 z 它都发散. 证明：用反证法，设 z 为满足 | | | | 0 1 0 z − z z − z 内任一点，若 幂级数（1）在点 z 收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知 + = − 0 1 0 ( ) n n n z z