4.2.3 () Newtoni法的收敛阶为2: C≠0 (2)f(a)≠0(k=12,)(存在) F(x) f2=0 图411导数变化对算法的影响 (3)必须对2求值 a弦位法每迭代一次只需求f。故 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 21 4.2.3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 弦位法每迭代一次只需求 。故 必须对 求值。 存在 法的收敛阶为 ： k k k k k k k a f f f f k f c e e Newton . 3 , 2 0 1,2, lim 0 1 2 ' ' ' 1 = = + → F(x) 2 1 x ( ) 1 1 0 , f ' f 2 = 图 4.11 导数变化对算法的影响
每次函数求值相当的收敛阶为: 2=1414<1618 b.求f有时工作量大,甚至不可能。 (4)选用收敛域较大的方法(如二分法) 先进行迭代,然后再用 Newton法 组合方法。 424二次插值法 设fx)=0的三个近似解及函数值 (a1,f)(a2,f)(ax3,f3 构造二次函数g(y)使得: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 22 每次函数求值相当的收敛阶为： b. 求 fk ' 有时工作量大，甚至不可能。 (4) 选用收敛域较大的方法（如二分法） 先进行迭代，然后再用Newton法。 －－组合方法。 4.2.4 二次插值法 设 f(x)=0 的三个近似解及函数值 构造二次函数g(y)使得： (1 , f 1 ), (2 , f 2 ), (3 , f 3 )。 2 =1.414 1.618
4.2.4 x1=8()i=1,23 利用 Lagrange插值 Ay-fila x=g f)(3-f2) fa)y-fila3 2-f3)2-f 求新的近似根,令y=0,则 X=-PQ 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 23 4.2.4 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) X PQ y f f f f y f y f f f f f y f y f f f f f y f y f x g y Lagrange x g f i i i = − = − − − − + − − − − + − − − − = = = = 求新的近似根，令 则 利用 插值： 0, 1,2,3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3 2 1 1 3
4.2.4 其中: P=(R-1)S-1)7-1) Q=a(2-f)+22G;-)+2(f-2) Jf2 3 F(x) g(x) f(x) 2 图42二次插值法求根示意 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 24 4.2.4 ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 1 1 2 3 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 f f T f f S f f R f f f f f f f f f Q P R S T = = = = − + − + − = − − − 其中： F(x) x g(x) f(x) 1 4 3 2 图 4.12 二次插值法求根示意
4.2.4 (1)要有三个初始值a1,a1,a1,且a∈(a1,a2) (2)当f(x)∈C[0(a,。δ)收敛。且收敛速度 是1.84阶。(单根) 二重根的收敛阶是1.23 (3)a1(=12,3)不同值 f(=12,3)不同值。 (4)发生超射、越界 表41各种插值方法的比较 方法名称收敛速度有效指数重根情况 二分法 1,偶重失败 线性插值法1618 1.618 牛顿法 2 1414 二次插值法 1.84 1.84 二重时1.23 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 25 4.2.4 (1) 要有三个初始值 (2) 当 。且收敛速度 是 1.84 阶。（单根） 二重根的收敛阶是1.23。 (3) (4) 发生超射、越界。 ( ) 1 1 1 1 2 , , ,且 , f (x)C 3 0(, )时收敛 ( ) ( ) 不同值。 不同值。 1,2,3 1,2,3 = = f i i i i 方法名称 收敛速度 有效指数 重根情况 二分法 1 1 1, 偶重失败 线性插值法 1.618 1.618 1 牛顿法 2 1.414 1 二次插值法 1.84 1.84 二重时 1.23 表 4.1 各种插值方法的比较