42.5组合方法( Brent method) 能否有一种方法综合上述方法的优 点呢? Brent做了一些工作 Brent把二分法和二次插值法结合 起来。 (1)一定收敛。 (2)收敛速度至少线性。 (3)在解附近足够光滑时,收敛速度 将是1.84或1.23。 有关多项式的求根还有一些特殊方法。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 26 4.2.5 组合方法（Brent Method） 能否有一种方法综合上述方法的优 点呢？Brent 做了一些工作。 Brent 把二分法和二次插值法结合 起来。 （１）一定收敛。 （２）收敛速度至少线性。 （３）在解附近足够光滑时，收敛速度 将是 1.84 或 1.23。 有关多项式的求根还有一些特殊方法
43非线性方程组及牛顿法 非线性方程组的向量形式可表示为 (4-5) 其中f=(f,2…,fn) =1592 解法: 1.几乎不可能用直接法 2.线性化,迭代逼近。生顿法 3.最优化,求函数极小值。下降法 例如, 求(x)=∑(x)的极小值点 最速下隆法,共轭梯度法,变尺度方法。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 27 4.3 非线性方程组及牛顿法 非线性方程组的向量形式可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) T n T n x f f f f f x , , , , , , 0 4 5 1 2 1 2 = = = − 其中 解法： 1. 几乎不可能用直接法 2. 线性化，迭代逼近。牛顿法 3. 最优化，求函数极小值。下降法。 例如， 求 的极小值点。 最速下降法，共轭梯度法，变尺度方法。 ( ) =( ( )) 2 x f x i
43.1牛顿法 为方便计,用二维情形来讨论。 f(1252)=0 f2(2122)=0 假定(46)的解x,f1f∈Cpx,) 且存在一阶偏导数。设x)∈0x,6 这里,x=(152)x0)=(2) 作线性函数( Taylor展开,取一阶精度) 1(1()+01(-9 (k)(2 051 2 2 4(=9)+01-)+1(-5) 2 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 28 4.3.1 牛顿法 为方便计，用二维情形来讨论。 ( ) ( ) (4 6) , 0 , 0 2 1 2 1 1 2 − = = f f 假定（4-6）的解 , , 0( , ) 0 1 2 x f f C x ( ) 且存在一阶偏导数。设x k 0(x , )。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k x x 1 2 1 2 = , , = , 这里， 作线性函数（Taylor 展开，取一阶精度） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 7) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 − − − + = + − − + = + k x k x k k x k x k k k k k f f l x f x f f l x f x
4.3.1 在ox,)内用线性函数(47)代替 非线性方程组(46)中的f1,f2,从而 x)4s1+ △ (k) 05 2 2 af △2=-f2(x 052 052 这里,△=()=51-5(),△2)=E2-2) 如果在0(x,δ)中矩阵(称 Jacobi.矩阵) ar Ofr D(x))=05052 02O2 5 非奇异,则可解出。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 29 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 29 4.3.1 在 内用线性函数（4-7）代替 非线性方程组(4-6)中的f1 ,f2 , 从而 0( , ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k ) (k ) (k ) (k ) k k k x k k k x f x f f f x f f k x k k x k 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 , = − = − = − + = − + 这里， 如果在 0( , ) 中矩阵（称Jacobi矩阵） x ( ) ( ) ( ) (4 8) 2 2 1 2 2 1 1 1 − = k x k f f f f Df x 非奇异，则可解出
4.3.1 △ f() △22 f2() D(x称为向量函数的cob矩阵。从而 (k 1+4∠() (k) 2 52+△E() 2 于是 (k+1)=x Dff 4-1 非线性方程组(4-6的牛顿迭代公式 n维情形: afi ofi 05102 Dr())_g 2f2 051052 05n of af, 051052 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 30 4.3.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 9) 2 1 1 2 1 − − − = − k k k k x k f x f x Df Df (x)称为向量函数的Jacobi矩阵。从而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + + k k k k k k 2 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 10) 1 1 = − − − + k k x k k x x Df f x 于是 ( ) ( ) ( ) (k ) n x n n n n n k f f f f f f f f f Df x n = − − − 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 4 6 维情形： 非线性方程组 的牛顿迭代公式