对有限维空间，一个完全的标准正交系可构成其上一组基.一个自 然的问题是这个完全的标准正交系能否构成无限维内积空间H的一个 基底？换句话说，是否每一个x都能表示为这个基底的Fourier级数的 和？因为我们要讨论级数的收敛性，所以我们仅考虑完备的内积空间， 即Hilbert空间的情形 定理 设{ej}eI是Hilbert空间H中的标准正交系，则对每一个x∈H,其相 对于{e}z的Fourier系数集{(a,ei∈I}最多只有可数个不为零并 且满足如下的Bessel不等式： ∑1（红e2≤， 1 其中上式和是对至多可数个不为零的项进行求和 泛函分析 November 1,2021 11/41
对有限维空间, 一个完全的标准正交系可构成其上一组基. 一个自 然的问题是这个完全的标准正交系能否构成无限维内积空间 H 的一个 基底? 换句话说, 是否每一个 x 都能表示为这个基底的 Fourier 级数的 和? 因为我们要讨论级数的收敛性, 所以我们仅考虑完备的内积空间, 即 Hilbert 空间的情形. 定理 设 {ej}j∈I 是 Hilbert 空间 H 中的标准正交系, 则对每一个 x ∈ H, 其相 对于 {ej}j∈I 的 Fourier 系数集 {(x, ej)|j ∈ I} 最多只有可数个不为零并 且满足如下的 Bessel 不等式 X : i∈I |(x, ej)| 2 ≤ ||x||2 , (4) 其中上式和是对至多可数个不为零的项进行求和. 泛函分析 November 1, 2021 11 / 41
定理 设{e}eI是Hilbert空间H的完全的标准正交系，则对任给x∈H都有 x=∑(xe9 (5) jEl 并且有以下Parseval等式： l2=∑1（红，e2. (6) 1 (5)和(6)都是对Fourier系数不为零的全体进行求和。 泛函分析 November 1,2021 12/41
定理 设 {ej}j∈I 是 Hilbert 空间 H 的完全的标准正交系, 则对任给 x ∈ H 都有 x = X j∈I (x, ej)ej (5) 并且有以下 Parseval 等式： ||x||2 = X j∈I |(x, ej)| 2 . (6) (5) 和 (6) 都是对 Fourier 系数不为零的全体进行求和。 泛函分析 November 1, 2021 12 / 41
下面我们给出Hilbert空间中完全的标准正交系的存在性 定理 设H是Hilbert空间，{ej}ez是H的一个标准正交系，则存在完全的标 准正交系{e}ez*使得{e}jezC{e}eI*, 定理 设H是可分的Hilbert空间，则H有可数的正规的正交基. 泛函分析 November 1,2021 13/41
下面我们给出 Hilbert 空间中完全的标准正交系的存在性. 定理 设 H 是 Hilbert 空间, {ej}j∈I 是 H 的一个标准正交系, 则存在完全的标 准正交系 {ej}j∈I∗ 使得 {ej}j∈I ⊂ {ej}j∈I∗ . 定理 设 H 是可分的 Hilbert 空间, 则 H 有可数的正规的正交基. 泛函分析 November 1, 2021 13 / 41
Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 定理 (Riesz表示定理)设H是Hilbert空间，则对任何f∈H,存在唯一的 y∈H使得 f=(x,, x∈H (7) 并且= 泛函分析 November 1,2021 14/41
Riesz 表示定理与 Lax-Milgram 定理 定理 (Riesz 表示定理) 设 H 是 Hilbert 空间, 则对任何 f ∈ H′ , 存在唯一的 y ∈ H 使得 f(x) = (x, y), ∀x ∈ H (7) 并且 ||f|| = ||y||. 泛函分析 November 1, 2021 14 / 41