命题 设H是内积空间.对任何x∈H,令 川=Va,, 则‖·川是H上的范数. 由命题1.1可知内积空间上都有一个自然的范数川=（红，）立.下 面我们证明在此范数下内积空间是一个赋范线性空间.我们只需证明在 此范数诱导的度量下内积(，)是连续的即可. 命题 设H是内积空间，赋予其内积诱导的范数，则其内积(，)是H上的二 元连续函数 泛函分析 November 1,2021 6/41
命题 设 H 是内积空间. 对任何 x ∈ H, 令 ||x|| = p (x, x), 则 || · || 是 H 上的范数. 由命题 1.1 可知内积空间上都有一个自然的范数 ||x|| = (x, x) 1 2 . 下 面我们证明在此范数下内积空间是一个赋范线性空间. 我们只需证明在 此范数诱导的度量下内积 (·, ·) 是连续的即可. 命题 设 H 是内积空间, 赋予其内积诱导的范数, 则其内积 (·, ·) 是 H 上的二 元连续函数. 泛函分析 November 1, 2021 6 / 41
今后在没有特别声明的情况下，都把内积空间看成是线性赋范空间， 其范数是由内积诱导出来的： 定义 完备的内积空间称为Hilbert空间. 例1.2-1.4给出的内积空间都是Hilbert空间.（只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可) 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为Hilbert空间. 定理 设H是内积空间，川·‖是由内积诱导的范数，则下面的平行四边行等式 成立： lx+2+lx-2=2(l2+‖2)，Vx,y∈H. 泛函分析 November 1,2021 7/41
今后在没有特别声明的情况下, 都把内积空间看成是线性赋范空间, 其范数是由内积诱导出来的. 定义 完备的内积空间称为 Hilbert 空间. 例 1.2–1.4 给出的内积空间都是 Hilbert 空间. (只需证明这些空间 的内积诱导出的度量为第一章中对它们引入的度量即可). 由任何度量空间都可以完备化可推出任何内积空间必可完备化称 为 Hilbert 空间. 定理 设 H 是内积空间, || · || 是由内积诱导的范数, 则下面的平行四边行等式 成立: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ), ∀ x, y ∈ H. 泛函分析 November 1, 2021 7 / 41
定义 设H是内积空间，(，)是其内积.如果飞y∈H使得（红，）=0，则 称x与y正交，记为x⊥ 由向量的正交可给出下列概念： 定义 (①)设M是H的子集，如果x与M中的任何元素都正交，则 称x与M正交，记为x⊥M ()设M,N是H中的两个子集，如果对任意x∈M以及任意y∈N, 有x⊥，则称M与N正交，记为M⊥N; )设M是H的子集，称H中的所有与M正交的元素的全体为M的 正交系，记为止，即 M={x∈lx⊥M 泛函分析 November 1,2021 8/41
定义 设 H 是内积空间, (·, ·) 是其内积. 如果 x, y ∈ H 使得 (x, y) = 0, 则 称 x 与 y 正交, 记为 x ⊥ y. 由向量的正交可给出下列概念: 定义 (i) 设 M 是 H 的子集, 如果 x 与 M 中的任何元素都正交, 则 称 x 与 M 正交，记为 x ⊥ M; (ii) 设 M, N 是 H 中的两个子集, 如果对任意 x ∈ M 以及任意 y ∈ N, 有 x ⊥ y, 则称 M 与 N 正交, 记为 M ⊥ N; (iii) 设 M 是 H 的子集, 称 H 中的所有与 M 正交的元素的全体为 M 的 正交系, 记为 M⊥, 即 M⊥ = {x ∈ H|x ⊥ M}. 泛函分析 November 1, 2021 8 / 41
从上面的定义，我们容易得到如下的性质： ()设MCH,x∈H,则x⊥M当且仅当x⊥M: ()x⊥H当且仅当x=0: (iii)当MCNCH时，NcM; (iv)对任何MCH,MnM={O}: (w)勾股定理：当x⊥y时，z+2=川2+川2. 定理 设H是内积空间，MCH,则M小是H的闭线性子空间，并且 Ml=(span M0=(span☑， (3) 其中span M表示由M张成的线性子空间. 泛函分析 November 1,2021 9/41
从上面的定义，我们容易得到如下的性质: (i) 设 M ⊂ H, x ∈ H, 则 x ⊥ M 当且仅当 x ⊥ M; (ii) x ⊥ H 当且仅当 x = 0; (iii) 当 M ⊂ N ⊂ H 时, N⊥ ⊂ M⊥; (iv) 对任何 M ⊂ H, M ∩ M⊥ = {0}; (v) 勾股定理: 当 x ⊥ y 时, ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 . 定理 设 H 是内积空间, M ⊂ H, 则 M⊥ 是 H 的闭线性子空间, 并且 M⊥ = (span M) ⊥ = (span M) ⊥, (3) 其中 span M 表示由 M 张成的线性子空间. 泛函分析 November 1, 2021 9 / 41
定义 设H是内积空间，I是一个指标集，{e}z是H中的一族元素.如果对 任给j,k∈I,j≠k有(e,e)=0,则称{e}ez是H中的正交集.如果 {e}ez是H中的正交集，并且对每一个je1,有le=1,则 称{e}红是H中的标准正交系.如果{e}红是H中的标准正交系，并 且{e}z的正交补为零向量，则称{e}红为H中完全的标准正交系 定义 设H是内积空间，{e}工是H中的一个标准正交系.对每一个x∈H, 称数集{(z,ej∈I)为x的Fourier系数集，其中元素称 为x的Fourier系数， 泛函分析 November 1,2021 10/41
定义 设 H 是内积空间, I 是一个指标集, {ej}j∈I 是 H 中的一族元素. 如果对 任给 j, k ∈ I, j ̸= k 有 (ej , ek) = 0, 则称 {ej}j∈I 是 H 中的正交集. 如果 {ej}j∈I 是 H 中的正交集, 并且对每一个 j ∈ I, 有 ||ej || = 1, 则 称 {ej}j∈I 是 H 中的标准正交系. 如果 {ej}j∈I 是 H 中的标准正交系, 并 且 {ej}j∈I 的正交补为零向量, 则称 {ej}j∈I 为 H 中完全的标准正交系. 定义 设 H 是内积空间, {ej}j∈I 是 H 中的一个标准正交系. 对每一个 x ∈ H, 称数集 {(x, ej)|j ∈ I} 为 x 的 Fourier 系数集, 其中元素称 为 x 的 Fourier 系数. 泛函分析 November 1, 2021 10 / 41