应变能密度dV5应变能密度一单位体积的应变能：V8dV1、单向应力状态dz2gEd1102uV800dyGdV222Edx2、三向应力状态02d应变能与加载方式/次序无关，设定比例加载：主单元体各面上的应力dy01按同一比例增加直至最终值。dx
V V v d d ε 应变能密度—单位体积的应变能： ε = 1、单向应力状态 2 2 2 2 1 2 1 d d ε σ σε ε ε E V E V v = = = = 应变能密度 2、三向应力状态 应变能与加载方式/次序无关, 设定 比例加载：主单元体各面上的应力 按同一比例增加直至最终值。 dz dy dx σ σ dz dy dx σ2 σ1 σ3
应变能密度每一主应力仅仅在其对应的主应变上做功而在与其它主应力对应的主应变上不做功：(o, dzdx) (s,dy) +=((o,dydz) (e,dx) +(α,dxdy) (c,dz)Y02 dxdydz(0/) + 0282 + 0;;)dVdy应变能密度为：dxdV90,0+0282+038C2dV
( 11 2 2 3 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 d d d d dzd d d d d 22 2 V yz x x y xy z ε = ⋅+ ⋅ + ⋅ σε σ ε σ ε 每一主应力仅仅在其对应的主应变上做功， 而在与其它主应力对应的主应变上不做功： 应变能密度 ( 11 2 2 3 3 ) 1 ddd 2 = ++ σε σε σε xyz ( ) 1 1 2 2 3 3 2 1 d d σ ε σ ε σ ε ε ε = = + + V V v 应变能密度为： dV dz dy dx σ2 σ1 σ3
应变能密度广义虎克定律：(α, +o)8E, -v(, +,)E3 -v(α,+α,)8E+0, +0,? -2v(0,02 +020, +0,03O2E对一般空间应力状态：+08.+0.8+OX2
广义虎克定律: [ ( )] [ ( )] [ ( )] = − + = − + = − + 3 3 1 2 2 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ E E E [ ( )] 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 ε = σ +σ +σ − ν σ σ +σ σ +σ σ E v 应变能密度 ( ) x x y y z z xy xy yz yz zx zx v σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ ε = + + + + + 2 1 对一般空间应力状态：
应变能密度推导E,G，V的关系（各向同性材料）T纯剪切状态的应变能密度：V82G纯剪切状态的主应力：三Q, =T， O2 =O, O3=-T+02? +03? -2v(0,02 +020, +0,03VL2ET2(1+v)EGE2(1 +v)
应变能密度 推导 E, G, ν 的关系（各向同性材料） 纯剪切状态的应变能密度: τ 2 2 v G ε τ = σ σ=τ σ=τ 纯剪切状态的主应力: [ ( )] 1 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 ε = σ +σ +σ − ν σ σ +σ σ +σ σ E v σ =τ σ = σ = −τ 1 ， 2 0， 3 2 (1 ) E τ ν+ = ( +ν ) = 2 1 E G
应变能密度平均应力：3、体积改变能和畸变能-(0)+,+0,主单元体上主应力的分解：m02-0m=0220mO1-Om=dO0m(仅有形状改变）（仅有体积改变）V么+Va8（畸变能密度）（体积改变能密度）
m 123 ( ) 1 3 σ σσσ = ++ 3、体积改变能和畸变能 = + 主单元体上主应力的分解: 平均应力： 应变能密度 (仅有体积改变) (仅有形状改变) vε Vv d = + v 1 σ2 σ3 σ σ m σ m σ m σ2−σm=σ2 ' σ1−σm=σ1 ' σ3−σm=σ3 ' (体积改变能密度) (畸变能密度)