《线性代数复习》讲解

f(x)=x”+a1x1+…+an-1x+an,于是 100 0 Dn=(-1)”f(x) 0.00 00.0 n+a1xn+…+an1x+an 00 (3)建立递推公式和利用数学归纳法计算 b 例1.求D2n= b 解:按第一行 d b 0 0 a,b, d d =andn D2n-2-bncnD2n-2=(a, -,cn)D2n-2 n=2, 3, -.o -1 a,,-b,c 设D2n2=(a1d1-b1c1)…(an1dn-1-bn=cn1),则 D2n=(and,-benDan-2=1(ad -b c)o

11 n n n n f x = x + a x + + a − x + a − 1 1 1 ( )  ，于是 = − − − − = − − + ( 1)阶 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ( 1) ( ) n n n x x D f x           n n n n x + a x + + a − x + a − 1 1 1  。 ⑶ 建立递推公式和利用数学归纳法计算： 例⒈ 求 n n n n n c d c d a b a b D     1 1 1 1 2 = 。解：按第一行 (2 1)阶 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 − − − − − = n n n n n n n n d c d c d a b a b D a     (2 1)阶 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 ( 1) − − − − − + + − n n n n n n n n c c d c d a b a b b     = an dnD2n−2 − bn cnD2n−2 = (an dn − bn cn )D2n−2 n = 2 ,3, 。 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a d b c c d a b D = = − ， 设 ( ) ( ) 2n−2 = 1 1 − 1 1 n−1 n−1 − n−1 n−1 D a d b c  a d b c ，则 2 2 2 ( ) n = n n − n n D n− D a d b c ( ) 1 i i i i n i = a d − b c = 

例2.设a1a2…an≠0,求Dn= 。解:由行列式的加法 7i-/n 1+a +anDn-1=a1a2…an-1+anD1,n=2,3,…。a1a2…an≠0, ∴D1=1+a1D2=a1+a2D1=aa2(++D),设Dn1=aa2…m(F、+D,则 Dn=a2…an1+a,Dn1=a2…a,②1+D ai 四.求逆阵的四种方法:设A=(an) 1.若AB=E,则A-1=B或B-1=A Au A A 2.求伴随矩阵A A12A2 2,其中,A1是an的代数余子式。 Al Ay 于是,对于所有方阵A,都有A'=|4E。此时,若A≠0,则方阵A为可逆阵,且 =团4()=团4,若4=0,A=0,则方阵A为不可逆阵或奇异阵 特别地,当A=(ab =ad-bc≠0时,则A为可逆阵,且A=d-b 例:解矩阵方程 4=6≠0,则A 6(11 B=2≠0,则

12 例⒉ 设 a1a2 an  0 ，求 n n a a a D + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1        。解：由行列式的加法， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1        a a Dn + + = an a a        0 0 1 1 0 1 1 0 2 1 + + + 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1           − − − − n n n n a a a r r r r + anDn−1 = a1a2 an−1 + anDn−1 , n = 2,3,  。∵ a1a2 an  0， ∴ 1) 1 1 1 , ( 1 2 1 = + 1 2 = 1 + 2 1 = 1 2 + + a a D a D a a D a a ， 设 1) 1 ( 1 1 1 = 1 2 1  + − = − − n i i n n a D a a a ， 则 1) 1 ( 1 = 1 2 1 + 1 = 1 2  + = − − n i i n n n n n a D a a a a D a a a 。 四．求逆阵的四种方法：设 A = aij nn ( ) ， 1． 若 AB = E ，则 A = B −1 或 B = A −1 。 2． 求伴随矩阵               =  n n nn n n A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1 ，其中， Aij 是 ij a 的代数余子式。 于是，对于所有方阵 A ，都有 AA = A E  。此时，若 A  0 ，则方阵 A 为可逆阵，且 A A A A A A 1 ; ( ) 1 1 1 = = −   − 。若 A = 0 ， = 0  AA ，则方阵 A 为不可逆阵或奇异阵。 特别地，当 , = −  0         = A ad bc c d a b A 时，则 A 为可逆阵，且         − − = − c a d b A A 1 1 。 例：解矩阵方程         − =        −         − 0 1 3 1 1 1 2 0 1 2 1 4 X 。 解： , 6 0 1 2 1 4 =          − A = A ，则         − = − 1 1 2 4 6 1 1 A ； , 2 0 1 1 2 0 =          − B = B ，则

于是=/~/31 0 3.利用初等行变换或初等列变换 (4}B)-初等行变换 X(E|x-),-… 初等列变换 若解AX=B,A为可逆阵,则X=AB,(A!B、初等行变换 →x(E|AB 若解XA=B,A为可逆阵,则X=BA-, 初等列变换 B BA-1 4.分块对角方阵的逆阵: 若A= A1i=1,2,…,s都是方阵 A 则A可逆台A1=1,2,…,S都是可逆阵,并且/不 A4=|4|4…4| 05-200 例1.试证A=02100可逆,并求A 00083 6≠0,∴A为可逆阵。A A3 A1=(-),A2= 9-25

13         = − 1 2 1 0 2 1 1 B 。于是         =         − = − − 0 4 1 1 1 0 1 3 1 1 1 X A B 。 3． 利用初等行变换或初等列变换： ( ) ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 A ┆ E E │ A 初等行变换 ，           ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→           −1 A E E A ┄ ┄ 初等列变换 ， 若解 AX = B， A 为可逆阵，则 X A B −1 = ，( ) ( ) 1 A B E A B ┆ ⎯ 初等行变换 ⎯⎯⎯⎯⎯→ │ − ， 若解 XA = B ， A 为可逆阵，则 −1 X = BA ，           ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→           −1 BA E B A ┄ ┄ 初等列变换 。 4． 分块对角方阵的逆阵： 若               = As A A A 0 0 2 1  , A i s i =1, 2 ,  , 都是方阵， 则 A 可逆  A i s i =1, 2 ,  , 都是可逆阵，并且               = − − − − 1 1 2 1 1 1 0 0 As A A A  ， A = A1 A2  As 。 例⒈ 试证                 − = 0 0 0 5 1 0 0 0 8 3 0 2 1 0 0 0 5 2 0 0 2 0 0 0 0 A 可逆，并求 −1 A 。 证： 126 0 5 1 8 3 2 1 5 2 2 = −  − A = ，∴ A 为可逆阵。           = 3 2 1 0 0 A A A A , (2) A1 = ， ) 2 1 ( 1 1 = − A ，         − = 2 1 5 2 A2 ，         − = − 2 5 1 2 9 1 1 A2 ，         = 5 1 8 3 A3 ，         − − = − − 5 8 1 3 7 1 1 A3

0 00 0 02-95-900 00 00 00 0 其中4=/01) 0500 例2.设A=2 10 A2=010,4 0010 求A4 解:|A4=1A1A2|A4|=-5≠0,A为可逆阵。A1=E2(1,2),A=E2(1,2)=A1, 10-3 A2=E3(1,3(3),A2=E3(1,3(-3)=010,4=E4(2(5), A3=E4(2(=) A2 A3 例3.设三阶方阵A满足A=,求2A-A-。 解4,P一+P4=+ 例4.设A为可逆阵,A·是A的伴随阵, 试证:(1)(A-)=(A)-;(2)(42)-=(A-)2:(3)(42)=(A)。 证:①)4A=4E,∵A可逆,∴(4)=A,又:(4)=|E=E

14 ∴             = − − − − 1 3 1 2 1 1 1 0 0 A A A A                           − − = − 7 8 7 5 0 0 0 7 3 7 1 0 0 0 0 0 9 5 9 2 0 0 0 9 2 9 1 0 0 0 0 0 2 1 。 例⒉ 设           = 3 2 1 0 0 A A A A ，其中         = 1 0 0 1 A1 ，           = 0 0 1 0 1 0 1 0 3 A2 ，               = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 A3 ， 求 A ， −1 A ， 1 ( )  − A 。 解： A = A1 A2 A3 = −5  0 ， A 为可逆阵。 (1, 2) A1 = E2 ， 2 1 1 1 A = E (1, 2) = A − ， (1, 3(3) ) A2 = E3 ，           − = − = − 0 0 1 0 1 0 1 0 3 (1, 3( 3) ) 3 1 A2 E ， (2(5)) A3 = E4 ，               = = − 0 1 1 5 1 1 0 )) 5 1 (2( 4 1 A3 E ，             = − − − − 1 3 1 2 1 1 1 A A A A 。           = = − • − 3 2 1 1 0 0 5 1 1 ( ) A A A A A A 。 例⒊ 设三阶方阵 A 满足 3 1 A = ，求 1 2 • − A − A 。 解： • −1 A = A A ， 9 1 1 ) 3 1 ) ( 3 1 2 2 ( 1 1 1 1 3 − = − = − = − • = −  − − − − A A A A A A A 。 例⒋ 设 A 为可逆阵，  A 是 A 的伴随阵， 试证：⑴ 1 1 ( ) ( ) −   − A = A ；⑵ T T (A ) (A ) −1 −1 = ；⑶ T T (A ) (A )   = 。 证：⑴ AA = A E  ，∵ A 可逆，∴ A A A 1 ( ) 1 =  − ，又∵ E A A A A E 1 ( ) 1 1 1 = = − −  −

()=(4)4=(4) (2)由A4-=E,(A-)A=E,故(A)1=(A-) ③3由(4)=|E=4E,故(41)=(4)”:又A=4E,(4)A=1E, 故(A")=(4)=(41)。 例5:设A为n阶方阵,AA=E,|4<0,求A+E。 解:由A+E=14+4|=AE+4)=|4E+4=44+E,(1-|4)4+=0, 0,故+E=0 五、可逆阵的性质及判断 1.性质:下列条件等价:(1)n阶方阵A为可逆阵。(2)A为可逆阵,(A)-=A, 4rl=6为可逆阵,(=(f” -r|=r:0≠0时,A为可逆阵,(03= (5)当B为n阶可逆阵时,AB为可逆阵,并且(AB)=B-A-1 (6)A为可逆阵,并且(A)=(A-1)2。 2.判断n阶方阵A=(an)mn为可逆阵的方法,下面条件是等价的 (1)A为可逆阵,即彐B,B为n阶方阵,使AB=En; 4≠0,即A为非奇异阵(4=0=4为奇异阵或为不可逆阵,且= (3)R(4)=n,即A为满秩阵(A为降秩阵≌R(A)≤n-1); (4)A的行向量组或列向量组)是一组线性无关向量组 (5)A的行向量组(域列向量组)是n维向量空间Rn中的一组基 (6)Ax=0只有零解(无非零解

15 ∴ 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) −  − −  − = A = A A A A A 。 ⑵由 AA E A A E T T = = − − , ( ) 1 1 ，故 T T (A ) (A ) −1 −1 = 。 ⑶由 A A A E A E T T T = =  ( ) ，故 1 ( ) 1 ( )  − = T T A A A ；又 AA = A E  ， A A A E T T =  ( ) ， 故  −  = ( ) = ( ) 1 ( ) T T 1 T A A A A 。 例 5：设 A 为 n 阶方阵， AA = E, A  0 T ，求 A + E 。 解：由 A + E A AA A E A A E A A A E T T T = + = ( + ) = ( + ) = + ，(1− A) A + E = 0 ， A  0,1− A  0 ，故 A + E = 0 五、可逆阵的性质及判断 1． 性质：下列条件等价：⑴ n 阶方阵 A 为可逆阵。 ⑵ −1 A 为可逆阵， A = A −1 −1 ( ) ， A A 1 1 = − ⑶  A 为可逆阵， A A A A 1 ( ) ( ) 1 1 = =  − −  ， −  = A A A 1 1 ，  −1 −1 = = n A AA A ；⑷   0 时， A 为可逆阵， 1 1 1 ( ) − −  A = A ； ⑸ 当 B 为 n 阶可逆阵时， AB 为可逆阵，并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A ； ⑹ T A 为可逆阵，并且 T T (A ) (A ) −1 −1 = 。 2． 判断 n 阶方阵 A = aij nn ( ) 为可逆阵的方法，下面条件是等价的： ⑴ A 为可逆阵，即 B ， B 为 n 阶方阵，使 AB = En ； ⑵ A  0 ，即 A 为非奇异阵( A = 0  A 为奇异阵或为不可逆阵)，且 −  = A A A 1 1 ； ⑶ R(A) = n ，即 A 为满秩阵( A 为降秩阵  R(A)  n −1 )； ⑷ A 的行向量组(或列向量组)是一组线性无关向量组； ⑸ A 的行向量组(或列向量组)是 n 维向量空间 n R 中的一组基； ⑹ 0   Ax = 只有零解(无非零解)；