第二节数学建模简介与建立函数关系举例 习题1-2 1.设一正圆锥体高为H,底半径为R.现有一正圆柱体内接于该圆锥体,已 知正圆柱体的底半径为r.试将该圆柱体的高h与体积V表示成r的函数 H-h H 解由 得,h H R (R-r);V=Trh=T(R-r) R 2.有一长1m的细杆(记作OAB),OA段长0.5m,其线密度(单位长度细杆的质 量)为2kgm,AB段长05m,其线密度为3kg/m.设P是细杆上任意一点,OP长 为x,质量为m,求m=f(x)的表达式 解当0≤x≤0.5时,f(x)=2x;当0.5<x≤1时,f(x)=2×0.5+3(x-0.5)=1 3(x-0.5) 故m=f(x=2 0≤x≤0.5 1+3(x-0.5),0.5<x≤1 3.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重 量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系 解由题意,易知 当0<x≤20时,y=080;当20<x≤40时,y=2×0.80=1.60;当40<x≤60 时,y=3×0.80=240;…当1980<x≤2000时,y=100×080=8000 0<x≤20 故y={240 40<x≤60 980<x≤2000 4.有一身高为a(m)的人在距路灯杆b(m)处沿直线以c(m/s)朝远离灯杆的方 向匀速行走,假设路灯高为h(m)h>a),求人影的影长s与时间t的关系 解由题意2=5故 a(ct+b h s+(ct +b) h 5.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角φ=40°(如下图).当过水断面ABCD 的面积为定值S时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并 指明其定义域
1 第二节 数学建模简介与建立函数关系举例 习 题 1-2 1. 设一正圆锥体高为 H , 底半径为 R . 现有一正圆柱体内接于该圆锥体, 已 知正圆柱体的底半径为 r . 试将该圆柱体的高 h 与体积V 表示成 r 的函数. 解 由 Hh r H R − = 得, ( ) H h Rr R = − ; 2 2 π π ( ) H V rh R rr R == − . 2. 有一长1m 的细杆(记作OAB ), OA段长0.5 m, 其线密度(单位长度细杆的质 量)为 2 kg /m; AB 段长0.5 m, 其线密度为3kg /m. 设 P 是细杆上任意一点, OP 长 为 x , 质量为 m , 求 m fx = ( ) 的表达式. 解 当0 0.5 ≤ ≤x 时, ( ) 2 f x x = ; 当0.5 1 < x ≤ 时, ( ) 2 0.5 3( 0.5) fx x = ×+ − =1 + − 3( 0.5) x . 故 2 , 0 0.5, ( ) 1 3( 0.5), 0.5 1. x x m fx x x ⎧ ≤ ≤ = = ⎨ ⎩ + − <≤ 3. 邮局规定国内的平信, 每 20g 付邮资 0.80 元, 不足 20g 按 20g 计算, 信件重 量不得超过 2kg , 试确定邮资 y 与重量 x 的关系. 解 由题意, 易知: 当 0 20 < ≤x 时, 0.80 y = ; 当 20 40 < x ≤ 时, 2 0.80 1.60 y = × = ; 当 40 60 < ≤x 时, 3 0.80 2.40 y =× = ;" 当1980 2000 < x ≤ 时, 100 0.80 80.00 y = × = . 故 0.80, 0 20, 1.60, 20 40, 2.40, 40 60, , 80.00, 1980 2000. x x y x x ⎧ < ≤ ⎪ < ≤ ⎪ ⎪ = <≤ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ < ≤ " " 4. 有一身高为 a(m) 的人在距路灯杆b(m) 处沿直线以 c(m/s) 朝远离灯杆的方 向匀速行走, 假设路灯高为 h ha (m)( ) > , 求人影的影长 s 与时间t 的关系. 解 由题意 ( ) a s h s ct b = + + , 故 a ct b ( ) s h a + = − . 5. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ = 40D (如下图). 当过水断面 ABCD 的面积为定值 0 S 时, 求湿周 L ( L AB BC CD = + + )与水深 h 之间的函数关系式, 并 指明其定义域
解因为h= ABsin40°= CDsin40° h AB=CD 由梯形面积公式可得 So=ch( 故 S0=H(BC+(BC+2cot40°·h) 可得 所以 L=AB+BC +CD= -cot40°.h=地+ sin40°h h的取值范围由下述不等式组确定 cot40°·h>0, 解之得所求定义域为(0√Stin40°) 6.已知一物体与地面的摩擦系数是,重量是 P.设有一与水平方向成a角的拉力F,使物体从静 止开始移动(见右图),求物体开始移动时拉力F与角 a之间的函数关系式 解用F表示拉力F的大小,所以 Fcos0=u(P-Fsina) 故 F cosa+ usina 7.当一模型火箭发射时,推进器燃烧数秒,使火箭向上加速,当燃烧结束后, 火箭再向上升了一会,便向地面自由下落.当火箭开始下降一段短时间后,火箭张 开一个降落伞,降落伞使得火箭下降速度减慢,以免着陆破裂.下图所示为此火箭 飞行时的速度数据 v/(m/s) 试利用此图回答下列问题 (1)当推进器停止燃烧时,火箭上升的 速度是多少? (2)推进器燃烧了多久? (3)火箭什么时候达到最高点?此时速 O 度是多少? 4)降落伞何时张开?当时火箭的下降 速度是多少?
2 N P R F α 2 4 6 8 10 12 14 t/s v/(m/s) 70 50 30 10 O -20 -40 解 因为 h AB CD = = sin 40 sin 40 D D , 故 sin 40 h AB CD = = D . 由梯形面积公式可得: 0 1 ( ) 2 S h BC AD = + , 故 0 1 ( ( 2cot 40 ) 2 S h BC BC h = ++ ⋅ D , 可得 0 cot 40 S BC h h = − ⋅ D . 所以 2 2 cos 40 0 0 cot 40 sin 40 sin 40 h S S L AB BC CD h h h h − = + + = + − ⋅= + D D D D . h 的取值范围由下述不等式组确定 解之得所求定义域为 0 (0, tan 40 ) S D . 6. 已知一物体与地面的摩擦系数是 μ , 重量是 P . 设有一与水平方向成α 角的拉力 F , 使物体从静 止开始移动(见右图), 求物体开始移动时拉力 F 与角 α 之间的函数关系式. 解 用 F 表示拉力 F 的大小, 所以 F PF cos ( sin ) θ = − μ α , 故 cos sin P F μ α μ α = + . 7. 当一模型火箭发射时, 推进器燃烧数秒, 使火箭向上加速, 当燃烧结束后, 火箭再向上升了一会, 便向地面自由下落. 当火箭开始下降一段短时间后, 火箭张 开一个降落伞, 降落伞使得火箭下降速度减慢, 以免着陆破裂. 下图所示为此火箭 飞行时的速度数据. 试利用此图回答下列问题: (1) 当推进器停止燃烧时, 火箭上升的 速度是多少? (2) 推进器燃烧了多久? (3) 火箭什么时候达到最高点? 此时速 度是多少? (4) 降落伞何时张开? 当时火箭的下降 速度是多少? 0 0, cot 40 0, h S h h ⎧ > ⎪ ⎨ − ⋅> ⎪ ⎩ D b D Φ = 40D A h ▼ B C
(5)在张开降落伞之前,火箭下降了多长时间? 解(1)由图易知,推进器停止燃烧时,火箭速度最大,应为50m/s. (2)推进器燃烧了2s 3)火箭在8s时达到最高点,此时速度为0ms (4)降落伞在第12s张开,此时火箭的下降速度为-40ms」 (5)在张开降落伞之前,火箭下降了12-8=4(s) 8.假设质点以初速度v=600m/s沿与水平面成=45°角的方向射出,试画出 质点运动轨迹的图形,并求质点的射程及最大升高的高度(设g≈10m/32,空气阻力 忽略不计) 解以质点起始位置为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,设t时 刻质点的横坐标为x,纵坐标为y,则有 x=(vo cos )t, y=(vo sin)=gt 消去,得y=x-B2,即 9000 36000 y 6000 此即质点运动轨迹,图形如图14 36000x 易知质点射程为36000m,最大升高为9000m. 图14
3 (5) 在张开降落伞之前, 火箭下降了多长时间? 解 (1) 由图易知, 推进器停止燃烧时,火箭速度最大, 应为50 m/s. (2) 推进器燃烧了 2s. (3) 火箭在 8s 时达到最高点, 此时速度为 0 m/s. (4) 降落伞在第 12s 张开, 此时火箭的下降速度为 −40 m/s. (5) 在张开降落伞之前, 火箭下降了12 8 4 − = (s). 8. 假设质点以初速度 0 v = 600m/s沿与水平面成θ = 45D 角的方向射出, 试画出 质点运动轨迹的图形, 并求质点的射程及最大升高的高度(设 2 g ≈10m/s , 空气阻力 忽略不计). 解 以质点起始位置为坐标原点, 水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系, 设t 时 刻质点的横坐标为 x , 纵坐标为 y , 则有 0 π ( cos ) 4 x = v t , 2 0 π 1 ( sin ) 4 2 y v t gt = − , 消去t , 得 2 2 0 gx y x v = − , 即 2 36000 x y x = − , 此即质点运动轨迹, 图形如图 1.4. 易知质点射程为36000 m, 最大升高为9000 m. 9000 y 2 36000 x y x = − 36000 O x 图 1.4