第四节极限的基本性质 习题1-4 证明数列1,0,1,0…的极限不存在 证用{un}表示此数列,则易知该数列的子数列{a2n+t}收敛于0,{a2n}收敛于 1,由收敛数列与其子数列之间的关系知,该数列的极限不存在 2.试证明x→x时函数极限的局部有界性定理 证设imf(x)=A,则由极限定义,ⅤE>0,彐6>0,使得当0<x-x <6,有(x)-4<E,即A-E<f(x)<A+E,即f(x)在U(x,0)内有界 3.证明x→∞时函数极限的局部保号性:若limf(x)=A,且A>0(或A<0, 则存在x>0,当>x时,f(x)>0(或f(x)<0) 证以A>0为例证之,A<0时亦然 由imf(x)=A,则由极限定义,对E=>0,彐X>0,当冈>X时,就有 (x)-4<=2,即0<2<f()<24,得证 4.对于数列{x},若x2k-1→以(k→∞),x2k→a(k→∞),证明:xn→a(m 证由x2k-1→a(k→∞),故VE>0,彐K1>0,使得当k>K1时,有 x2k→a(k→∞),故对上述E>0,彐K2>0,使得当k>K2时,有 x2k-a 取N=max{2k1-1,2k2},当n>N时,有x-<E.即x→a(n→∞)
1 第四节 极限的基本性质 习 题 1-4 1. 证明数列1, 0,1, 0," 的极限不存在. 证 用{ }n u 表示此数列, 则易知该数列的子数列 2 1 { } n u + 收敛于 0 , 2 { }n u 收敛于 1, 由收敛数列与其子数列之间的关系知, 该数列的极限不存在. 2. 试证明 0 x → x 时函数极限的局部有界性定理. 证 设 0 lim ( ) x x f x A → = , 则由极限定义, 0 ∀ε > , 0 ∃δ > , 使得当 0 0 < −x x < δ , 有 fx A ( ) − < ε , 即 A fx A −< < + ε ( ) ε , 即 f ( ) x 在 0 U x( ,) δ D 内有界. 3. 证明 x → ∞ 时函数极限的局部保号性: 若 lim ( ) x f x A →∞ = , 且 A > 0 (或 A < 0 ), 则存在 X > 0 , 当 x > X 时, ( ) 0 f x > (或 f x() 0 < ). 证 以 A > 0 为例证之, 0 A < 时亦然. 由 lim ( ) x f x A →∞ = , 则由极限定义, 对 0 2 A ε = > , 0 ∃ X > , 当 x > X 时, 就有 ( ) 2 A fx A − <= ε , 即 3 0 () 2 2 A << < f x A , 得证. 4. 对于数列{xn} , 若 2 1 ( ) k x ak − → →∞ , 2 ( ) k x ak → →∞ , 证明: n x → a (n → ∞) . 证 由 2 1 ( ) k x ak − → →∞ , 故∀ > ε 0 , 1 ∃ K > 0 , 使得当 1 k K> 时, 有 2 1 k x a ε − − < ; 2 ( ) k x ak → →∞ , 故对上述ε > 0 , 2 ∃ K > 0 , 使得当 2 k K> 时, 有 2k x a − < ε . 取 N KK = − max{2 1,2 } 1 2 , 当 n N> 时, 有 n x a − < ε . 即 n x → a ( ) n → ∞
证明:当x→0时,in2没有极限 4n+1 (n=12…),则 lim x=0,imy=0,但 如m=0厘如x 所以 lim sin-不存在 6.证明:当x→+∞时,sin√x没有极限 )x2(n=1,2,…),则 lim x= +∞ lim sin√xn=0≠ lim sin 所以 lim sin√x不存在
2 5. 证明: 当 x → 0 时, π sin x 没有极限. 证 令 1 n x n = , 2 4 1 n y n = + ( 1,2, ) n = " , 则 lim 0 n n x →∞ = , lim 0 n n y →∞ = , 但 π π lim sin 0 lim sin 1 n n n n →∞ →∞ x y =≠ = , 所以 π lim sin n→∞ x 不存在. 6. 证明: 当 x → +∞ 时, sin x 没有极限. 证 令 2 (2 π) n x = n , 1 2 [(2 )π] 2 n y n = + ( 1,2, ) n = " , 则 lim n n x →∞ = +∞ , lim n n y →∞ = +∞ , 但 lim sin 0 lim sin 1 n n n n x y →∞ →∞ =≠ = , 所以 lim sin n x →∞ 不存在