《线性代数复习》讲解

(7)A可以表示成有限个初等方阵的乘积 (8)A和En等价,A~En,即彐n阶非奇异阵P、Q,使PAQ=En 例1设n阶方阵A满足A2-A-4E=0,试证:A,A+E,A+kE(k为整数)都为可逆阵。 证:由A2-A=4E,A.(A E,于是A可逆,A 由(A+EA-2E)=2E,(A+E)·5(A-2E)=E,于是A+E可逆, (A+E)-=1(A-2E)。由(A+kELA-(k+1)E]+k(k+)E=4E (A+kE[4-(k+1)E]=(4-k-k2)E,∵x2-x-4=0,x 1±√17 ,∴k为整数 k2-k-4≠0,A+kE(k为整数)为可逆阵,(A+kE 4-k-k214-(k+1)E]。 例2.设A=En-·,是n维非零列向量,是ξ的转置 证明:(1)A2=A台,=1,(2)当·=1时,A是不可逆阵。 )2=(En-)En-,)=En-2元 A=(·-1) →若A2=A,则(·-1)·=0,为非零列向量 a1,…,an不全为零,则矩阵 0,∴数·5=1 仁若ξ·=1,则A2-A=0,即A2=A (2当·=1时,A2-A=0,A(A-En)=0,|4A-E川|=0。若A为可逆阵,则 AA=En,A=A-42=AA=En,又A=En-5·,故矩阵ξ·=0,为n维 零列向量,矛盾。∴A是不可逆阵。 例3:设A=-111,矩阵X满足AX=A1+2X,A是A的伴随阵,求矩阵X

16 ⑺ A 可以表示成有限个初等方阵的乘积； ⑻ A 和 En 等价， A ~ En ，即  n 阶非奇异阵 P、Q ，使 PAQ = En 。 例⒈设 n 阶方阵 A 满足 4 0 2 A − A − E = ，试证： A ，A + E, A + kE (k 为整数）都为可逆阵。 证：由 A A 4E 2 − = ， A • (A − E) = E 4 1 ，于是 A 可逆， ( ) 4 1 1 A = A − E − 。 由 (A + E)(A − 2E) = 2E ， (A + E) • (A − 2E) = E 2 1 ，于是 A + E 可逆， ( ) ( 2 ) 2 1 1 A + E = A − E − 。由 (A + k E)[A − (k +1)E] + k(k +1)E = 4E ， (A k E)[A (k 1)E] (4 k k )E 2 + − + = − − ，∵ 2 1 17 4 0, 2  x − x − = x = ，∴ k 为整数， 4 0, 2 k − k −  A + kE (k 为整数）为可逆阵， [ ( 1) ] 4 1 ( ) 2 1 A k E k k A k E − + − − + = − 。 例⒉ 设 T A En = −  •    ，   是 n 维非零列向量， T   是   的转置， 证明：⑴ 1 2 =   •  =   T A A ，⑵ 当  •  =1   T 时， A 是不可逆阵。 证：⑴ T T T n T n T A = En −  •  E −  •  = E −  •  +  •   •            ( )( ) 2 ( ) 2 ， T T A − A =  •  −  •      ( 1) 2 。  若 A = A 2 ，则 ( •  −1) •  = 0 T T     ，  为非零列向量， 设 n n a a a a , , , 1 1               = 不全为零，则矩阵 ( ) 0 2 2 1 1 1                =           • = n n n T a a a a a a        ，∴数  •  =1   T 。  若  •  =1   T ，则 0 2 A − A = ，即 A = A 2 。 ⑵当  •  =1   T 时， 0 2 A − A = ， A(A − En ) = 0， A A − En = 0 。若 A 为可逆阵，则 A A = En −1 ， A = A A = A A = En −1 2 −1 ，又 T A En = −  •    ，故矩阵  •  = 0 T   ，  为 n 维 零列向量，矛盾。∴ A 是不可逆阵。 例 3：设           − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A ，矩阵 X 满足 A X A 2X 1 = +  − ，  A 是 A 的伴随阵，求矩阵 X

020|=4≠0,A为可逆阵,AA'X=A-+2AX (4E-2A)X=E,X=(4E-2A)=(2E-A)-, 2E-A=11 11-1010 02 2-110→ 111001 002101 l1100 1-110 0100 001 001 (2E-A)=0 六、判断向量组线性相关性的方法 定义:[注:对“V”(任意给定的意思),“彐”(存在或找到的意思)应有深刻理解] 若彐k1,k2,…kn不全为0(即k2+k2+…k2≠0,使ka1+k22+…+k,an=0, 则称向量组a1,a2,…n是线性相关的。否则,即k1,k2,…,kn不全为0,使 k1a1+k2a2+…+kan≠0,则称向量组a1,a2,…,n是线性无关的。 因此,若有方程ka1+k2a2+…+kan=0,能解出不全为0的k,k2,…,kn,使上 式成立,则a1,a2…,n线性相关,若上述方程只有零解,k1=k2=…kn=0,则 ,an是线性无关的 线性表示:若彐k1,k2,…,kn(不一定不全为0),使a=k1a1+…+knan, 则称α由α1,α2,…,an线性表示。线性表示的矩阵表示 a1 a=k1+…+kn=(…an米:=(k kn:|。若a1,2,…,n是Rn

17 解： 4 0 0 1 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 =  − − − + − − − = r r r r A ， A 为可逆阵， AA X AA 2AX 1 = +  − ， 1 1 (2 ) 2 1 ( 2 ) , (4 2 ) − − AE − A X = E X = E − A = E − A ，           − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2E A ， 3 11 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 r r r r + ⎯⎯⎯→ −           − − − →           − − − 0 0 2 1 0 1 0 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 r r r r r r − ⎯⎯⎯→ + +             − − −             − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ，           − = − = − 1 0 1 0 1 1 0 1 1 4 1 (2 ) 2 1 1 X E A 。 六、判断向量组线性相关性的方法 1． 定义：[注：对“  ”(任意给定的意思)，“ ”(存在或找到的意思)应有深刻理解] 若  n k , k , , k 1 2  不全为 0（即 0 2 2 2 2 k1 + k +kn  ），使 1 1 2 2 0      k  + k  + + knn = ， 则称向量组   n     , , , 1 2 是线性相关的。否则，即  n k , k , , k 1 2  不全为 0，使 1 1 2 2 0      k  + k  + + knn  ，则称向量组   n     , , , 1 2 是线性无关的。 因此，若有方程 1 1 2 2 0      k  + k  + + knn = ，能解出不全为 0 的 n k , k , , k 1 2  ，使上 式成立，则   n     , , , 1 2 线性相关，若上述方程只有零解， k1 = k2 =kn = 0 ，则   n     , , , 1 2 是线性无关的。 线性表示：若  n k , k , , k 1 2  （不一定不全为 0），使 n n  = k  + + k      1 1 ， 则称   由   n     , , , 1 2 线性表示。线性表示的矩阵表示 n n  = k  + + k      1 1 ( ) ( )           =           = n n n n k k k k             1 1 1 1 。若   n     , , , 1 2 是 n R

中的一组基,则a=(k1,k2,…,kn)是基a1,a2,…,an下的坐标 若向量组1,B2…,Bm由向量组a1,2,…an线性表示,则矩阵A=(an) In Ya 使 G…Bn)=Ga1…an)=(G1…an 2.若向量组a1,a2,…,n是具体向量组,可把a1,a2,…,an组成某一矩阵A的列向量 组,通过对矩阵A的作初等行变换化为含有单位阵的等价矩阵,然后结合子式的值确定 向量组的线性相关性(即求其秩,线性无关最大组,其它向量由最大的线性无关组线性 表示 例:判断向量组a1=(21-111),a2=(3-21-34) a3=(14-35-2),a4=(1-32-43)的线性相关性,求向量组的秩, 并写出一个最大的线性无关组 at af as a!)= 01000 14-23 6-66 102-1 0000。故R(4)=2,a1,2,a,4线性相关,a1,a2为最大的线性无关 0000 a1-a2,a4=-a1+ 例2:设T:a1=(124)a2=(021)a3=(-142),a4=(05-2)。求向量组T 的一个最大的线性无关组;并把其它向量由最大线性无关组线性表

18 中的一组基，则 ( , , , ) 1 2 n k k  k   = 是基   n     , , , 1 2 下的坐标 若向量组   m     , , , 1 2 由向量组   n     , , , 1 2 线性表示，则  矩阵 A = aij mn ( ) ， 使                                =                  =                  m m mn n n n m n a a a a a a a a a A                    2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 或 ( ) ( ) ( )               = = n n mn m m n T m n a a a a a a a a a A                 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1  1  1  。 2． 若向量组   n     , , , 1 2 是具体向量组，可把   n     , , , 1 2 组成某一矩阵 A 的列向量 组，通过对矩阵 A 的作初等行变换化为含有单位阵的等价矩阵，然后结合子式的值确定 向量组的线性相关性（即求其秩，线性无关最大组，其它向量由最大的线性无关组线性 表示。 例：判断向量组 (2 1 1 1 1) 1 = −  ， (3 2 1 3 4) 2 = − −  ， (1 4 3 5 2) 3 = − −  ， (1 3 2 4 3) 4 = − −  的线性相关性，求向量组的秩， 并写出一个最大的线性无关组。 解 ： ( )                 − − − − − − − = = 1 4 2 3 1 3 5 4 1 1 3 2 1 2 4 3 2 3 1 1 1 2 3 4 T T T T A         5 2 4 2 3 2 1 2 2 r r r r r r r r − − ⎯⎯ ⎯→ + − →                 − − − − − − − − 0 6 6 6 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 4 3 0 7 7 7                 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 。故 R(A) = 2 ， 1 2 3 4  ,  ,  ,      线性相关， 1 2  ,    为最大的线性无关 组。 3 1 2 4 1 2  2  ,          = − = − + 。 例 2：设 : (1 2 4), (0 2 1), ( 1 4 2) 1 =  2 =  3 = −    T ， (0 5 2)  4 = −  。求向量组 T 的一个最大的线性无关组；并把其它向量由最大线性无关组线性表示。 解 ：