第一章绪论 习题 1.设x>0,x*的相对误差为8,求f(x)=1nx的误差限。 解:求1nx的误差极限就是求f(x)=1nx的误差限,由公式 (1.2.4)有 5f(x)fx)-fx)千x改时f(x)16(x) 已知x*的相对误差8满足x158,而 f(x)=lnz,f(x)=-x-x*≤(x*)=z.1×*1 故 lxx+x+二|x-x+ Ix-xI x*|-(x+) 即如x-12118 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有 几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 x1=1.1021,x2=0.031,x3=560.40 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 x有5位有效数字,其误差限3(20,相对误差限 b(x2)≤×10 x有2位有效数字 (x2≤×101 x有5位有效数字, (x3)≤×10-2,5,(x3)≤10 3.下列公式如何才比较准确? M+11 aix,M≥1 (1)1+ (2) x2
第一章 绪论 习题一 1.设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。 解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式 (1.2.4)有 已 知 x* 的相对误差 满 足 ， 而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有 5 位有效 数字，其 误差限 ， 相对误 差限 有 2 位有效数字， 有 5 位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2）
解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换 所给公式。 ax=arc tan(N+1)-arc tanN x十 (2) 4.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。 5计算f=(2-取214,利用:(+22式计算误差最小。 (3-2√2)3, 70√2 四个选项 +1)6 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1.给定f(x)=lm的数值表 -0.916291 693147 -0.510826 0.356675 用线性插值与二次插值计算1n0.54的近似值并估计误差限 解:仍可使用n=1及n=2的 Lagrange插值或 Newton插值, 并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点, 用 Newton插值 hn0.548-0.693147+0.510826+0.693147 (0.54-0.5)=-0.620219 0.6-0.5 误差 限5Mx-050x-06 因
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。 （1） （2） 4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算 取 ，利用 ： 式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定 的数值表 用线性插值与二次插值计算 ln0.54 的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newton 插值, 并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用 0.5 及 0.6 两点， 用 Newton 插值 误差限 ， 因
f(x)=Inx, f(x) M 2:2=05×06 故 风(x)5×4×004×006=009 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次 Newton插值 ln0.54≈-0.620219+[0.5,0.6,0.7 (0.54-0.5)(0.54-0.6=-0.620219+(-1.40850)×0.04×(-0.06)=-0.616839 误 差 限 风2(x)5M3Kx-05x-06x-0列 2M3=0x507 2 x/=16 故 R2(对)≤×16×004×06×016≤0001024 2.在-4≤x≤4上给出()=的等距节点函数表,若用二次 插值法求e的近似值,要使误差不超过0,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8),n=2,f(x)=e,f"(x)=e Ifw(xil 4xg4(x)-2(x)=4x43|x x+(x-x1)(x-x)(x-x) 令列5x5x,=再一不,不1=再一,万=万+h 21 因 x-x-1(x-x)(x-x =55h<10 Eye 10,≤0.0066
，故 二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton 插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4 上给出 的等距节点函数表，若用二次 插值法求 的近似值，要使误差不超过 ，函数表的步长 h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得
3.若f()=x2+x+3x+1,求[20,2…,212,2…291 解:由均差与导数关系 x,x,…,人、 f(x)=x+x4+3x+1,f/((x)=71,(x)=0 于是 f[20,21…,21]=×7=1,2,21…,23]=0 4.若f(x)=a1+(x)=(x-列(x-)…(x-x(=0…1互异,求 xo…,的值,这里p≤n+1 解:()=an(,f(x)=0=0…n),由均差对称性 几x不“4=20(可知当有几而再…,列]=0 而当P=n+1时 ,x…xx1]=∑f(x)an)≈fm1)=1 升x0,…,1)=0,P≤n 于是得 1,P=n+1 ∑42y=4y,-4y0 5.求证x 解:解:只要按差分定义直接展开得 -0 =y2-△yo
3. 若 ，求 和 . 解：由均差与导数关系 于是 4. 若 互异，求 的值，这里 p≤n+1. 解 ： ， 由 均 差 对 称 性 可知当 有 而当 P＝n＋1 时 于是得 5. 求证 . 解：解：只要按差分定义直接展开得
6.已知f)=hx的函数表 30 f*i 0.20134 0.30452 0.52110 求出三次 Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差 解:根据给定函数表构造均差表 f(x)-阶均差二阶均差「三阶均差 0.200.201341.0067 0.300.304521.03180.08367 0500.521121.080 0.17067 0.17400 由式(5.14)当n=3时得 Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 风3(023=[x0,x1,x2,x20.23a4(023 由于x,x1,x2,,023]1003133 R32023≤0033023×003×007×027≤432×10° 7.给定f(x)=cosx的函数表 0.3 0.6 f(*i 1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534
6. 已知 的函数表 求出三次 Newton 均差插值多项式，计算 f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 由式(5.14)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得 f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得 由于 7. 给定 f(x)=cosx 的函数表