D1,D1是D作厂后的行列式 D1,D1是D作rxk,(k≠0)后的行列式 (k≠0)k D1,D1是D作+k后的行列式 推论:(1)k4=k"4≠k4,其中A=(an)m,行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的 (2)若行列式D的二行(或二列对应元素成比例,则D=0。 2.D b,l a,2+ bn2 即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的,此时,≠4+1B 3.方阵A=(an)m的行列式性质:0)4=|1(1,A=(an)m:2)k4=k"4 (3)若B=(b)m,则|AB=4B=|BA,但是AB不一定等于BA 4.行列式的 Laplace展开法则 设 4 其中A是an的代数余子 5.范德蒙行列式 (x1-x)=(x2-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xm1)
6 D1 r r D i j − ， D1 是 D 作 i j r r 后的行列式； 1 ( 0) 1 D k D r k k i = ， D1 是 D 作 r k,(k 0) i 后的行列式； D1 r kr D i + j ， D1 是 D 作 i j r + kr 后的行列式。 推论：⑴ kA k A k A n = ，其中 A = aij nn ( ) ，行列式数乘和矩阵数乘法则是不相同的。 ⑵若行列式 D 的二行(或二列)对应元素成比例，则 D = 0。 2． n n n n i i i n n n n n n i i i n n n n n n i i i i i n i n n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a D 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 = + + + = + ，而 + + + + + + = n n n n nn nn n n a b a b a b a b a b a b C 1 1 2 2 11 11 12 12 1 1 A B b b b b b b a a a a a a n n nn n n n nn n = + + = 1 2 11 12 1 1 2 11 12 1 ， 即行列式的加法与矩阵的加法运算法则是不相同的，此时， C A + B 。 3． 方阵 A = aij nn ( ) 的行列式性质：⑴ T A = A ， ji n n T A = a ( ) ；⑵ kA k A n = ； ⑶ 若 B = bij nn ( ) ，则 AB = A B = BA ，但是 AB 不一定等于 BA。 4． 行列式的 Laplace 展开法则： 设 n n A aij = ( ) ，则 j i A j i a A n k ik jk = = =1 0 ，其中 Aij 是 ij a 的代数余子式。 5． 范德蒙行列式： 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 − − − = n n n n n n x x x x x x D ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 1 1 − = j − i = − n − − n − n − n i j n x x x x x x x x x x x x
共有(n-1)+(m-2)+…+2+1=m-个因子 1694925/-(-3-47-45-4)7+3)5+3)5-7)=350 6.对角阵和反块对角阵的行列式 0 0 若A= 则|4=a1…an;若B B=( 若 A,…A为方阵,则A=A1…A 0 7.n阶行列式计算技巧: (1)利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算 a a2 a 例1求D=41+a2 各行元素之和为常数1+a1+ al ta 解: ai 1+ 0 00 3333 例2.求D 3333 →第3行(或列元素都为3。解: 3334
7 共有 2 ( 1) ( 1) ( 2) 2 1 − − + − + + + = n n n n 个因子。 例： ( 3 4)(7 4)(5 4)(7 3)(5 3)(5 7) 3360 64 27 343 125 16 9 49 25 4 3 7 5 1 1 1 1 4 = − − − − + + − = − − D = 。 6. 对角阵和反块对角阵的行列式： 若 = an a A 0 1 0 ，则 A = a1 an ；若 = 0 0 1 bn b B ， n n n B b1b 2 ( 1) ( 1) − = − 。 若 s s A A A A A , , , 0 0 1 1 = 为方阵，则 A = A1 As 。 7． n 阶行列式计算技巧： ⑴ 利用各行(或列)元素之和为常数或某行(或列)元素都相同来计算。 例⒈ 求 n n n n a a a a a a a a a D + + + = 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ，各行元素之和为常数 1+ a1 ++ an 。 解： n n n n i i n n a a a a a a a c c c D + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 = + + − − = = n i i n n i i n a a a a r r r r 1 2 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 。 例⒉ 求 n Dn 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 = →第 3 行(或列)元素都为 3。解：
333 33 203 scCc 3001 000.0 003 =6(n-3) 例3.求Dn=Aan)an=-小,即求n阶对称行列式 2 0 n7 之值 解:由于D,的第一行和第n行对应元素相加后,每一个元素都为n-1,故 0 D 0 又第二行到第n行中相邻二项之差为±1,故 (n-1)2-1
8 0 0 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 2 0 3 0 0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 4 3 2 3 1 3 − − − − − − − = n c c c c c c c c n D n n 6( 3)! 3 0 2 1 1 1 0 2 3 = − − − − = n n 。 例⒊ 求 D a a i j n = ( ij), ij = − ，即求 n 阶对称行列式 n n nn n n n a a a a a a a a a D 1 1 21 22 2 11 12 1 = 1 2 3 1 0 2 3 4 0 1 2 1 0 4 3 1 0 1 3 2 0 1 2 2 1 − − − − − − − − − − − − = n n n n n n n n n n n n 之值。 解：由于 Dn 的第一行和第 n 行对应元素相加后，每一个元素都为 n −1 ，故 1 2 3 1 0 2 3 4 0 1 2 1 0 4 3 1 0 1 3 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 − − − − − − − − − − − + n n n n n n n n n n n r r D n n ， 又第二行到第 n 行中相邻二项之差为 1 ，故 ( 1)阶 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ( 1) c c − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − n n n n n n n n n c c c c D
00 00 (-1)-12n-2(n-1) 1-10 例4.求实对称阵A=-12-1的特征根 解:-4=12-21,由于-4的每一行元素之和都为入,故 r1+F2+r3 1-21 02-30=(2-1)-3)=0。 入1=0,2=1,A3=3为实对称阵A的所有特征根。 -22x-12x-22x-3 例5:设f(x) 3x-33x-24x-53x- s求f(x)=0的根。解: 4x-35x-74x x-2x-1x-2x-3 f(x)r2-2 Bx-33x-24x-53x- x-33x-24x-53x 4x-35x-74 000 101 c3-c12 101 3+C x 1x-2-1 c4-C3x-31x-2 4 =5x(x-1)=0,x1=0,x2=1。 1+x 例6:求D=11-x 解 11
9 （ ） 阶 ( 1) 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 3 1 2 1 = − − − − − − − − − − − − − − + + − − − + − n n c c c c c c n n n n 。 例⒋ 求实对称阵 − − − − = 0 1 1 1 2 1 1 1 0 A 的特征根。 解： 0 1 1 1 2 1 1 1 0 − − − I − A = ，由于 I − A 的每一行元素之和都为 ，故 I − A ( 1)( 3) 0 0 1 1 0 3 0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 = − − = − − − − − r + r + r r r 。 1 = 0 ， 2 =1， 3 = 3 为实对称阵 A 的所有特征根。 例 5：设 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 ( ) − − − − − − − − − − − − − − − = x x x x x x x x x x x x x x x x f x ，求 f (x) = 0 的根。解： 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 1 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 2 1 − − − − − − − − − − − − x x x x x x x x x x x x f x r r 4 4 3 5 7 4 3 3 3 3 2 4 5 3 5 2 1 2 3 1 1 1 1 − − − − − − − = x x x x x x x x x 4 3 7 3 3 3 1 2 2 2 1 0 1 1 0 0 0 4 1 3 1 2 1 − − − − − − − − − − x x x x x c c c c c c 3 7 6 1 2 1 1 0 0 3 7 3 1 2 2 1 0 1 3 1 − − − − − − + − − − − − − = x x x c c x x x = 5x(x −1) = 0, x1 = 0; x2 =1。 例 6：求 y y x x D − + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 。解：
D 11+y1011+y1 11 例7:求D= a 2a+b 3a+2b+c 4a+36+2c+d a 3a+b 6a+36+c 10a+66+3c+d r4-73 D-no aa+b a+b+ no aa+b a+b+ 72-10a2a+b3a+2b+ 00a 0 a 3a+b 6a+36+ 00 3a+b (2)某行(或列)有很多零的 Laplace展开 例1.求D,= 。解:按第一行展开: 00 ,按第一列展开 n-1)阶 10 00 例2.求D 0 其中 a
10 y y x D − + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y y x x − + − + 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 = x y 。 例 7：求 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 1 。解： a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d r r r r r r D + + + + + + + + + − − − 0 3 6 3 0 2 3 2 0 2 1 3 2 4 3 4 3 2 4 3 0 0 3 0 0 2 0 a a a b a a b a a b a b c a b c d r r r r = + + − + + + − ⑵ 某行(或列)有很多零的 Laplace 展开。 例⒈ 求 a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 。解：按第一行展开： 阶 阶 ( 1) 1 ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 − + − = + − n n n n a a a a a D a ，按第一列展开： ( 1) 0 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 2) 1 = + − − = − − − + a a a a D a n n n n n n 阶 。 例⒉ 求 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a x a x x x D n n n n + − − − = − − 。解： 1 2 2 1 1 1 2 ( ) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 f x a a a x a x x r x r x r D n n n n n + − − − + + + − − − ，其中