《线性代数复习》讲解

线性代数复习 矩阵(向量)的运算及性质 1.数组的矩阵表示: y1=a111+a12x2+…+a1nxn 若有线性变换T:y2=ax+a2x2+…+anx x 记 称为m维列向量或m×1的列矩阵,x=:一称为n维列向量或n×1的 列矩阵,A a21a2 一称为m×n的矩阵 则有T:y=A,或y=T(x)=Ax。TA(一一对应) VI =a1X 特别地,若有r:{=4x2,=:和x=:都为n维列向量, 0 0 x2 1,这里,A 称 为n阶对角阵,j=T(x)=A。若a1=1,i=1,2,…,n,记 E=/ 称为n阶单位阵。TE,称T为恒等变换 a 2矩阵的向量表示:设A=(an)m ,记α, 2i ,i=1,2,……,n, 则A=(a1a2…an)A的一种分块矩阵 an是A的n个m维列向量

1 线性代数复习 一、矩阵(向量)的运算及性质 1． 数组的矩阵表示： 若有线性变换 T：        = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 ， 记           = m y y y   1 —称为 m 维列向量或 m 1 的列矩阵，           = n x x x   1 —称为 n 维列向量或 n 1 的 列矩阵，               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 —称为 mn 的矩阵， 则有 T y Ax   : = ，或 y T x Ax    = ( ) = 。T  A （一一对应） 特别地，若有        = = = n n n y a x y a x y a x T  2 2 2 1 1 1 : ，           = n y y y   1 和           = n x x x   1 都为 n 维列向量， x x x x a a a a x a x a x y y y y n n n n n       =                              =               =               = 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 ，这里，               = an a a 0 0 2 1   —称 为 n 阶对角阵， y T x x    = ( ) =  。若 ai =1，i =1, 2 ,  , n ，记               = = = 0 1 1 1 0  n n  E I —称为 n 阶单位阵。 T  En ，称 T 为恒等变换。 2 矩阵的向量表示：设               =  = m m mn n n ij m n a a a a a a a a a A a        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ，记 i n a a a mi i i i , 1, 2 , , 2 1    =                = ， 则 ( ) A =   n     1 2 — A 的一种分块矩阵，  n    , , 1 是 A 的 n 个 m 维列向量

组,于是y=A=(a1 an称向量y是 线性组合 B1 记=( 则A ,B1,…,B是A的m个 B !B. n维行向量组,于是y=Ax=: y=Bx,i=1…,m。(一般地,把行 向量写成列向量的转置) B B2 )=2是A=(a)m的两种特殊形式的分块矩阵。 Bm 3.矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算: 加减:若A=(an)mn,B=(bn)mn,则A+B=(an+b,)m,两矩阵相加减必须具有 相同行和列。 数乘:kA=k(an)mn=(ka1)mn,矩阵数乘必须每一个元素都数乘 乘积:若A=(an)m,B=(by)nw,AB能相乘必须要求A的列数=B的行数。此时, AB=(C)m,其中,Cn=∑ab 在相乘条件下有分配律:A(B+C)=AB+AC,结合律:A(BC)=(ABC=ABC, 般说来,AB≠BA,即交换律不一定成立 但是,若A=(a)m-A为m阶方阵,kC为正整数,称A是A的k次幂阵,于是有 A4·A2=4*,(4)2=A。若A=0称A为k次幂零阵 若a (b1 b,), 1b1 则ab=:|1…b,)=………|=C=(c,)m—m阶方阵,由此

2 组，于是 n n n n x x x x y Ax              = + +           = = 1 1 1 1 ( ) —称向量 y  是  n    , , 1 的 线性组合。 记 ai ai ain i m T i ( ) 1, 2 , , 1 2     = = ，则             = T m T A      1 ， T m T      , , 1 是 A 的 m 个 n 维行向量组，于是 y Ax x T m T                   = =  1             = x x T m T       1 ， y x i m T i i , 1,  ,   =  = 。（一般地，把行 向量写成列向量的 转置） ∴ ( ) A =   n     1 2               = T m T T        2 1 是 A = aij mn ( ) 的两种特殊形式的分块矩阵。 3． 矩阵(或向量)的线性运算及乘积运算： 加减：若 A = aij mn ( ) ， B = bij mn ( ) ，则 A + B = aij + bij mn ( ) ，两矩阵相加减必须具有 相同行和列。 数乘： ij m n ij m n k A= k a  = k a  ( ) ( ) ，矩阵数乘必须每一个元素都数乘。 乘积：若 A = aij mn ( ) ， B = bij n ( ) ， AB 能相乘必须要求 A 的列数 = B 的行数。此时， AB = Cij m ( ) ，其中， = = n k Cij aikbkj 1 在相乘条件下有分配律： A(B + C) = AB + AC ，结合律： A(BC) = (AB)C = ABC ，一 般说来， AB  BA ，即交换律不一定成立。 但是，若 A = aij nn ( ) — A 为 n 阶方阵， k, 为正整数，称 k A 是 A 的 k 次幂阵，于是有  + • = k k A A A ， k  k (A ) = A 。若 = 0 k A 称 A 为 k 次幂零阵。 若           = an a a   1 ， ( ) n T b b  b  = 1 ， 则⑴ ( ) i j n n n n n n n n T C c a b a b a b a b b b a a a b  • = =           =           = ( ) 1 1 1 1 1 1          ——n 阶方阵，由此

R(C)≤mn(a,b)≤1,若cn至少有一个为非零,则R(C)=1。 27,a=1…b):-a+ab2+…+a1b)=a+a2b2+…+a. 阶方阵为一数,称数a1b1+a2b2+…anbn是向量ab的内积(或数量积),线性代数 中记为[ab]=b7·a,高数中记为ab。此时,由乘积结合律 b)=a·(b =(a+…+anbn) 4.转置运算:设A=(an)m,则称B=A=(b2)m,b=an为A的转置矩阵,A中第 i行第j列元素恰为A的第i列第j行元素。运算规律:(41)=A, (A+B)=A f,(AB)2=BA≠A 5.分块矩阵的线性运算,乘积运算和矩阵类似: i a=(a, )msn, B=(b )mxt, C=AB=(c )mxt 此时,C=AB=(b1b2…b)=(4b1Ab2…Ab2)-这是C的一种分块 Ab2i=1,2,…,C是C的列向量组。 iaiB 又,C=AB=:B= 这是C的另一种分块 a: b i=1.2 是C的行向量组 若C 则E1=Ab 由矩阵的分块运算,若a1,a2,…,am是同维向量组(分量个数相同),则 a1,a2,…,an的一个线性组合为: k1a1+k2a2+…+knam=(k m为列向量组;

3 ( )  min( , ) 1 T R C a b   ，若 ij c 至少有一个为非零，则 R(C) =1。 ⑵ ( ) n n n n n n T a b a b a b a b a b a b a a b a b b = + + + = + + +           =  •       1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) ，一 阶方阵为一数，称数 a1b1 + a2b2 +anbn 是向量 T a b   , 的内积（或数量积），线性代数 中记为 a b b a T     [ , ] = • ，高数中记为 a b   • 。此时，由乘积结合律 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k T n n T k T k T a b a b a b a b a b a b      • − • − • = • • = + + 。 4． 转置运算：设 A = aij mn ( ) ，则称 ij n m T B = A = b  ( ) ，bij = a ji 为 A 的转置矩阵， T A 中第 i 行第 j 列元素恰为 A 的第 i 列第 j 行元素。运算规律： A A T T ( ) = ， T T T (A + B) = A + B ， T T (A) = A ， T T T T T (AB) = B A  A B 。 5． 分块矩阵的线性运算，乘积运算和矩阵类似： 设 A = aij mn ( ) ， B = bij n ( ) ， = = ij m C AB (c ) ， 此时， ( ) ( ) 1 2  1 2          C = AB = A b b b = Ab Ab Ab —这是 C 的一种分块，    Ab i =1, 2 , , i 是 C 的列向量组。 又，             =             = = a B a B B a a C AB T m T T m T       1 1 —这是 C 的另一种分块， a B i m T i 1, 2 ,  ,  = 是 C 的行向量组。 若 ( ) 1     C = c c ，则     c = Ab i =1, 2 , , i i 。 由矩阵的分块运算，若    m     , , , 1 2 是同维向量组(分量个数相同)，则    m     , , , 1 2 的一个线性组合为：           + + + = m m m m k k k k k              1 1 1 2 2 1 ( ) ，   m     , , , 1 2 为列向量组；

k1a1+k2a2+…+knam=(a1…am m为行向量组 例:设A=-1-1,B ,求(AB)00 242 解:∵AB=-1-30 0 -3/F是, 10 A(BA)B 类似地,(1)2| 2(3-11)2 2叫2(-3-1 , b a,6, ,这里 n, b, a b c=a1b1+…+anbn° 初等变换和初等方阵 1.初等行或列)变换:记分或G分)一交换第i行(或列)和第j行(或列)对应元素 k(或kc)——第i行(或列)对应元素乘k倍。F+k减或c1+kc;)一第j行(或列)上元 素的k倍加到第i行(或列)上的对应元素 2.初等方阵:对n阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵 + En分En(,),En→>En((k),En→En(,(k)) (1)初等方阵En(,),En((k)(k≠0),En(,(k))都是可逆阵。并且

4           + + + = m m m m k k k k k         1 1 1 2 2 1    (  ) ，   m     , , , 1 2 为行向量组。 例：设           − = − − 1 2 1 1 2 0 A ，         − = 0 1 1 1 2 1 B ，求 100 (AB) 。 解：∵           − − = − − 1 0 3 1 3 0 2 4 2 AB ，         − − = 0 3 1 0 BA ，于是，         −         − −           − = − −         − − = = 0 1 1 1 2 1 0 3 1 0 1 2 1 1 2 0 0 3 1 0 ( ) ( ) 9 9 9 9 100 9 9 AB A BA B A B           −  +  + − − − − = 99 99 99 99 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 4 2 。类似地，⑴ ( ) 100 3 1 1 3 2 1           − −           ( ) ( 3 1 1) 3 2 1 3 1 1 3 2 1 99 − −                     − −           = ( )           − − − − − − − − = −           = − 9 3 3 6 2 2 3 1 1 3 1 1 2 3 2 1 2 99 99 。⑵ ( )           =                     =           − n n n n k k n n k n n n n a b a b a b a b b b c a a a b a b a b a b             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，这里 a b anbn c = 1 1 ++ 。 二．初等变换和初等方阵 1．初等行(或列)变换：记 i j r  r (或 i j c  c )——交换第 i 行(或列)和第 j 行(或列)对应元素。 i kr (或 i kc )——第 i 行(或列)对应元素乘 k 倍。 i j r + kr (或 i j c + kc )——第 j 行(或列)上元 素的 k 倍加到第 i 行(或列)上的对应元素。 2． 初等方阵：对 n 阶单位阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵。 ( , ) ( ) E E i j n c c r r n i j i j    或 ， ( ( )) ( ) E E i k n c k r k n i i   → 或 ， ( , ( ) ) ( ) E E i j k n r kr c kc n i j i j + + → 或 。 ⑴ 初等方阵 E (i , j) n ， E (i(k)) (k  0) n ， E (i, j(k) ) n 都是可逆阵。并且

(E(,)=En(i,),(En(i(k))=E(),(En(,(k))=En(,j(-k) (2)对A=(an)m施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在A的左方(或右方乘上 个相应的m阶(或n阶)初等方阵,即 A~A1分A1=Em(,j)A,A~A2分A2=AEn(,f(k) (行变换——左乘初等方阵,列变换一—右乘初等方阵)。 43 例1:求X,使100x010=20-1。 解:由于100=E2(1,2),∴100=(E3(,2)-=E:(12):又 010|=E3(3,2(2) 010=(E(32(2)2=E3(32(-2)=010。于是, 0 Y=E3(2)20-1E3(32(-2)=1-43E3(32(-2)=1-411 1-20 1-24 a1 a22 例2:选择题,设A=a21a2a23,B=a1 a1 010 P=100,P2=010,则有()。(A)APP2=B,(B)APP=B,(C) PP2A=B,(D)P2PA=B 解:由P=E3(1,2),P2=E3(3,l(1),故选(C) 三.利用行列式的性质计算低阶和n阶行列式的值 1.行列式的初等变换性质(以行变换为例)

5 ( ( , )) ( , ) 1 E i j E i j n = n − ， )) 1 ( ( ( ))) ( ( 1 k E i k E i n = n − ，( ( , ( ) )) ( , ( ) ) 1 E i j k E i j k n = n − − 。 ⑵ 对 A = aij mn ( ) 施行一次初等行(或列)变换得到的矩阵相当于在 A 的左方(或右方)乘上一 个相应的 m 阶(或 n 阶)初等方阵，即 A A A Em i j A r r i j ~ ( , ) 1  1 =  ， ~ ( , ( ) ) 2 2 A A A AE i j k n c kc i j  = + (行变换——左乘初等方阵，列变换——右乘初等方阵)。 例 1：求 X ，使           − − − =                     1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X 。 解：由于 (1, 2) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 = E3           ，∴ ( (1, 2)) (1,2) 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 1 3 1 = E = E           − − ；又 (3,2(2) ) 0 2 1 0 1 0 1 0 0 = E3           ， ∴           − = = − =           − − 0 2 1 0 1 0 1 0 0 ( (3,2(2) )) (3,2( 2)) 0 2 1 0 1 0 1 0 0 3 1 3 1 E E 。于是， (3,2( 2)) 1 2 0 1 4 3 2 0 1 (3,2( 2)) 1 2 0 2 0 1 1 4 3 (1,2) 3 3 3 −           − − − − =           − − − X = E E E           − − − = 1 2 4 1 4 11 2 0 1 。 例 2：选择题，设           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ，           + + + = 31 11 32 12 33 13 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B ，           = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 P1 ，           = 1 0 1 0 1 0 1 0 0 P2 ，则有（ ）。（A） AP1P2 = B ，（B） AP2P1 = B ，（C） P1P2 A = B ，（D） P2P1A = B 。 解：由 (1,2) P1 = E3 ， (3,1(1)) P2 = E3 ，故选（C）。 三．利用行列式的性质计算低阶和 n 阶行列式的值 1． 行列式的初等变换性质（以行变换为例）：