第三节极限的概念 习题 1.观察下列数列的变化趋势,指出它们是否有极限,若有极限,请写出其极 (1 11 (2)xn=(-1) (6) x,= In (7)0.1,0.11,0.111…,0.11…1 解(1)有极限,极限为0 (2)不存在极限 (3)有极限,极限为1 (4)不存在极限 (5)有极限,极限为1 (6)不存在极限(imxn=-∞) n→ (7)有极限,极限为1 2.用数列极限的定义证明 n2 (1)lin (2)Im→=0(a>0) H→①n 解(1) n(√m2+4+n)n 要使 4 -1<E,只要 即 于是,vE2>0取N=51,只要>N,就有2+4-<g,所以
1 第三节 极限的概念 习 题 1-3 1. 观察下列数列的变化趋势, 指出它们是否有极限, 若有极限, 请写出其极 限: (1) 1 1 ( 1)n n x n − = − ; (2) 1 ( 1)n n x n = − − ; (3) 1 1 n n x n − = + ; (4) π sin 2 n n x = ; (5) 1 cos π n x n = ; (6) 1 ln n x n = ; (7) 0.1, 0.11, 0.111, , " 0.11 1 N n " 个 , . " 解 (1) 有极限, 极限为0 . (2) 不存在极限. (3) 有极限, 极限为1. (4) 不存在极限. (5) 有极限, 极限为1. (6) 不存在极限( lim n n x →∞ = −∞ ). (7) 有极限, 极限为 1 9 . 2. 用数列极限的定义证明 (1) 2 4 lim 1 n n →∞ n + = ; (2) 1 lim 0( 0) n nα α →∞ = > . 解 (1) 2 2 2 4 4 44 1 ( 4) n nn nn n nn n + +− −= = < + + . 要使 2 4 1 n n ε + − < , 只要 4 n < ε , 即 4 n ε > . 于是, ∀ > ε 0, 取 4 N [ ] ε = , 只要 n N> , 就有 2 4 1 n n ε + − < , 所以 2 4 lim n n →∞ n + =1
只要 (a>0) 于是,v>0.取N=1,只要n>N,就有1-0<,所以lm1=0 (a>0) 3.设mxn=a,证明lmxn}=l,并举例说明反之未必成立 x-lsx-a,故vE>0,欲使|x-l<E,只要|x-a 由mx=a知,对VE>0,彐N,当n>N时,xn-d<E,从而x-l <E,故imxl|=l 反之未必成立,例如xn=(-1y,显然有imx=1,但mx不存在 设数列{xn}有界, NvM 证由数列{xn}有界,故存在M>0,使|x|≤M,对一切n都成 vE>0,因为lmyn=0,所以对于6∥0,3N,当n>N时,就有 <E E M 于是xyn-0=xlyl<M5 5.用函数极限的定义证 0 证(1) 要使 -2<E,只要2x-(-3)<E,即x-( 2x+1 于是,VE>0,彐8=5,当0<x-(
2 (2) 1 1 0 n n α α −= < ε , 只要 1 n ( 0) α α ε > > . 于是, ∀ > ε 0, 取 1 N [ ] α ε = , 只要 n N> , 就有 1 0 nα − < ε , 所以 1 lim n n →∞ α = 0 ( 0) α > . 3. 设 lim n n x a →∞ = , 证明 lim n n x a →∞ = , 并举例说明反之未必成立. 证 n n ∵ x − a xa ≤ − , 故∀ε > 0 , 欲使 n x a − < ε , 只要 n x a − < ε , 由 lim n n x a →∞ = 知, 对∀ > ε 0 , ∃ N , 当 n N> 时, n x a − < ε , 从而 n x − a < ε , 故 lim n n x a →∞ = . 反之未必成立, 例如: ( 1)n n x = − , 显然有 lim 1 n n x →∞ = , 但 lim n n x →∞ 不存在. 4. 设数列{xn} 有界, 又 lim 0 n n y →∞ = , 证明 lim 0 n n n x y →∞ = . 证 由数列{xn} 有界, 故存在 M > 0 , 使 n x ≤ M , 对一切 n 都成立. ∀ > ε 0 , 因为 lim 0 n n y →∞ = , 所以对于 1 0 M ε ε = > , ∃ N , 当 n N> 时, 就有 n 1 y M ε < = ε , 于是 0 nn n n xy x y M M ε −= ⋅ < ⋅ = ε , 故 lim 0 n n n x y →∞ = . 5. 用函数极限的定义证明 (1) 2 1 2 1 4 lim 2 x 2 1 x →− x − = + ; (2) sin 2 lim 0 x x →+∞ x = . 证 (1) 2 14 1 2 2 12 ( ) 21 2 x x x x − − = + = −− + . 要使 2 1 4 2 2 1 x x ε − − < + , 只要 1 2 () 2 x − − < ε , 即 1 ( ) 2 2 x ε − − < . 于是, ∀ > ε 0, 2 ε ∃ = δ , 当 1 0 () 2 2 x ε < −− < 时, 就有 2 1 4 2 2 1 x x ε − − < + , 故 2 1 2 1 4 lim 2 x 2 1 x →− x − = +
m:2-4 于是,VE>0取X=,当x>X时,就 -0<E lim sin 2x 0 6.证明:若x→+∞及x→-∞时,函数∫(x)的极限都存在且都等于A,则 lim f(x)=A 证由mf(x)=A,得ⅤE>0,彐X1>0,当x>X1时,就有f(x)-川<E 再由limf(x)=A,得对上述E>0,彐x2>0,当x<-X2时,就有f(x)-4 取X=max{x,X2},则当(>X时,有x>X或x<-X,故(x)-4<E 即limf(x)=A 7.证明:Iimf(x)存在的充分必要条件是f(x)在x处的左、右极限均存在且 相等 证必要性 如果limf(x)存在,不妨设limf(x)=A,则vE>0,彐6>0,只要0< x-x0|<6,就有(x)-4<E,特别的 当0<x-<6时,有f(x)-A<E,所以lm,f(x)=A; 当一6<x-x<0时,有(x)-4<E,所以Imf(x)=A 充分性 若limf(x)=A=limf(x),则ⅤE>0,彐6>0,只要0<x-x<61,就有 J(x)-A<E,362>0,只要-82<x-x<0,就有f(x)-4<E,取δ=min(3,2}
3 (2) sin 2 1 0 x x x − ≤ . 要使 1 x < ε , 只要 2 1 x ε > , 于是, ∀ > ε 0, 取 2 1 X ε = , 当 x > X 时, 就有 sin 2 0 x x − < ε , 故 sin 2 lim 0 x x →+∞ x = . 6. 证明: 若 x → +∞ 及 x → −∞ 时, 函数 f ( ) x 的极限都存在且都等于 A , 则 lim ( ) x f x A →∞ = . 证 由 lim ( ) x f x A →+∞ = , 得∀ > ε 0, 1 ∃ X > 0 , 当 1 x > X 时, 就有 fx A ( ) − < ε ; 再由 lim ( ) x f x A →−∞ = , 得对上述ε > 0, 2 ∃ X > 0 , 当 2 x < −X 时, 就有 f ( ) x A − < ε . 取 X XX = max{ , } 1 2 , 则当 x > X 时, 有 x > X 或 x < −X , 故 fx A ( ) − < ε , 即 lim ( ) x f x A →∞ = . 7. 证明: 0 lim ( ) x x f x → 存在的充分必要条件是 f ( ) x 在 0x 处的左、右极限均存在且 相等. 证 必要性: 如果 0 lim ( ) x x f x → 存在, 不妨设 0 lim ( ) x x f x A → = , 则∀ε > 0 , 0 ∃δ > , 只要0 < 0 x − x < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 特别的: 当 0 0 <− < x x δ 时, 有 fx A ( ) − < ε , 所以 0 lim ( ) x x f x A → + = ; 当 0 −<− < δ x x 0 时, 有 fx A ( ) − < ε , 所以 0 lim ( ) x x f x A → − = . 充分性: 若 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x A fx → → + − = = , 则∀ε > 0 , 1 ∃δ > 0 , 只要 0 1 0 < x x − < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 2 ∃ > δ 0 , 只要 2 0 − <− < δ x x 0 , 就有 fx A ( ) − < ε , 取 min{ , } 1 2 δ = δ δ
只要0<x-x<6,就有f(x)-4<6,故Iimf(x)=A x→x
4 只要0 < 0 x − x < δ , 就有 fx A ( ) − < ε , 故 0 lim ( ) x x f x A → =