Shanghai Jiao Tong University 1、劳斯判据：例2 s4+7s3+17s2+17s+6=0 s3+4s2+10s+50=0 1 176 1 10 s3 7 170 4 50 14.57 6 0 S -2.5 0 s 14.12 00 50 0 5 6 0 0 根：3，-2，-1，-1 根：-4.35,0.17±3.39i
Shanghai Jiao Tong University 1. 劳斯判据：例2 1. 劳斯判据：例2 7 17 17 6 0 4 3 2 s + s + s + s + = 6 0 0 14.12 0 0 14.57 6 0 7 17 0 1 17 6 0 1 2 3 4 s s s s s 4 10 50 0 3 2 s + s + s + = 50 0 2.5 0 4 50 1 10 0 1 2 3 s s s s − 根：‐3，‐2，‐1，‐1 根： ‐4.35，0.17 ± 3.39i
Shanghai Jiao Tong University 1、劳斯判据特例一 s5+s4+5s3+5s2+2s+1=0s5 1 52 某行第一项元素为零 1 51 其余项不为零或不全为零 1 0 。 可以用一个任意小的正数 58-1 代替这个零 10 ·如果零上面这项系数符号 E 与零下面这项系数符号相反， 58-1-62 表明这里有一个符号变化 0 58-1 1 根：0.02±2.14i,-0.83,-0.1±0.5i
Shanghai Jiao Tong University 1. 劳斯判据特例一 1. 劳斯判据特例一 某行第一项元素为零， 其余项不为零或不全为零 • 可以用一个任意小的正数 代替这个零 • 如果零上面这项系数符号 与零下面这项系数符号相反， 表明这里有一个符号变化 5 5 2 1 0 5 4 3 2 s + s + s + s + s + = 1 0 0 0 0 5 1 5 1 1 0 5 1 0( ) 1 0 1 5 1 1 5 2 0 2 1 2 3 4 5 s s s s s s − − − − ε ε ε ε ε ε 根：0.02 ± 2.14i，‐0.83，‐0.1 ± 0.5i
Shanghai Jiao Tong University 1.劳斯判据特例二 s3+s2+165+16=0 16 某一行元素全为零 s2 1 16 一说明特征方程存在 s 0(2 ·大小相等符号相反的实根 ·共轭虚根或共轭复根 16 - 可用全零行上面一行的元素构造一个辅助方程， F(s)=s2+16=0→s=±4j 一利用辅助方程对$的求导后得到的方程系数代替全零行的元素 辅助方程的次数总是偶数，所有那些数值相同符号相异的根都可由辅助方 程求得 一定不是稳定的系统 根：-1，±4j
Shanghai Jiao Tong University 1. 劳斯判据特例二 1. 劳斯判据特例二 某一行元素全为零 – 说明特征方程存在 • 大小相等符号相反的实根 • 共轭虚根或共轭复根 – 可用全零行上面一行的元素构造一个辅助方程， – 利用辅助方程对s的求导后得到的方程系数代替全零行的元素 – 辅助方程的次数总是偶数，所有那些数值相同符号相异的根都可由辅助方 程求得 – 一定不是稳定的系统 16 16 0 3 2 s + s + s + = 16 0 0(2) 0 1 16 1 16 0 1 2 3 s s s s F(s) s 16 0 s 4 j 2 = + = ⇒ = ± 根：‐1，±4j
Shanghai Tong University 1.劳斯判据：例3 特征方程： 5+2s4+3s3+652-45-8=0 s513-4 26 -8→2s4+6s2-8=0→S2=±1，S4=+2j S 0 0 0 求导↓ 8 12 ←8s3+12s=0 3 -8 s 33.3 -8 根：±1，±2j,-2
Shanghai Jiao Tong University 1. 劳斯判据：例3 1. 劳斯判据：例3 2 3 6 4 8 0 5 4 3 2 特征方程： s + s + s + s − s − = 根：±1，±2j，‐2 8 33.3 3 8 8 12 8 12 0 0 0 0 2 6 8 2 6 8 0 1, 2 1 3 4 0 1 2 3 3 1,2 3,4 4 4 2 5 − − ← + = ↓ − → + − = ⇒ = ± = ± − s s s s s s s s s s s j s 求导
Shanghai Jiao Tong Universit 劳斯判据：例4 s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0 s51-2 -7 -4 s51 -3 -4 S6 1 -2 -7 -4 41-3 -4 1-3 -4 0 s4-6 0 S4 1-3 -4 s2-1.5-4 0 0 0 s-16.70 F(S)=s4-3s2-4=0 s0-4 d(S)=4s-6s=0 根： ±2，j ds -0.5±0.87j F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0→±2，±j
Shanghai Jiao Tong University1. 劳斯判据：例4 1. 劳斯判据：例4 s - 2s - 3s - 7s - 4s- 4 0 6 5 4 3 2 + s = s 0 0 0 s 1 -3 - 4 s 1 -3 - 4 0 s 1 - 2 - 7 - 4 3 4 5 6 4s - 6s 0 ds dF(s) F(s) -3s - 4 0 3 4 2 = = = s = s -4 s -16.7 0 s -1.5 -4 s 4 -6 0 s 1 -3 -4 s 1 -3 -4 s 1 -2 -7 -4 0 1 2 3 4 5 6 F(s) = s − 3s − 4 = (s − 4)(s +1) = 0 ⇒ ±2,± j 4 2 2 2 根： ±2，±j ‐0.5 ±0.87j