64。设U是R2内的区域，f：U→R是Ck级的函数，证明，函数f的图形，即集合S= ((x,y,z)eR?l(x,y) EU, Z=f(x,y)),是Ck级的简单曲面，而矢函数r（u，v）=（u，v，f（u,v）)是它的参数表示。65，证明：所有的曲面S局部地都是某个函数的图形，即对于任何点MES都可找到这个点在R?内的邻域W，使SnW是某个函数的图形。66.设r：V-→R，其中V是R2内的区域，且对于V的所有点有arar。1)集合r（V)是曲面吗？2)证明：对于任何点（u，v）EV，存在R内的区域U，使（uv）EUCV，r（U）是C'级的曲面。67.设矢函数r（u，）=（u，v，0），其中（u，v）ER2（u，v）/v=0，u≥0）是曲面S的参数表示。1)确定曲面S的形式，2)求一个区域，使在这个区域上矢函数p（r，）=（rcosΦ，rsin，o）是曲面s的参数表示，3）建立上述参数表示间的变换。24
第二章平面曲线31.确定曲线的各种方法如果有矢函数：I→R2,t→r(t)是线或曲线的参数表示，则等式r=r(t)(1)称为线（曲线）的矢量方程。若x（t），y（t）是矢函数（1）关于R中笛卡尔直角坐标系的分量，则方程（1）相当于两个参数方程：(2)x=x(t),y=y(t)。线（曲线）的显式表示(3)y=f(x)是参数表示（2）的特殊情况。线（曲线的象）也能借助方程(4)F(x, y)= 0给出，它称为隐式表示。可以用极坐标代替笛卡尔直角坐标。68。写出由所有到两个已知点F,和F，（1F，F21=2b）的距离之积是常数&‘的点组成的平面图形的方程（卡西尼卵形线），这些图形中哪些是线，哪些能是曲线的象？69。已知具有长为2a的直径OA的圆和它在点A的切25
线，经过点O作射线OC，在OC上截取线段OM，使OM等于射线在圆和切线AB之间所夹的线段BC，当射线OC绕O点旋转时点M运动的轨迹称为基阿克列斯蔓叶线，列出这个轨迹方程。基阿克列斯蔓叶线是线吗？70。任一射线分别交圆-)=x2+(y24和圆的切线于D和E，此切线过O的对径点C，过D和E分别作平行轴Ox和Oy的直线交于点M，求点M形成的曲线方程（安尼基箕舌线）。71.点M沿着直线ON匀速运动，直线ON绕点O作匀速旋转，列出点M的轨迹方程（阿基米德螺线）。72.直线OL绕O点以固定的角速度の旋转，点M沿直线OL以与距离1OMI成比例的速度运动，列出点M描述的曲线方程（对数螺线）。73.定长2a的线段AB其终点沿直角坐标系xOy的坐标轴滑动，从坐标原点作直线AB的垂线OM，列出点M形成的图形的方程（四叶玫瑰线），这个图形是线吗？它能是曲线的象吗？74.一射线绕着半径为a的圆上某点O旋转，此时从它与圆的交点A向两侧截取长为2b的线段AM，AM2，列出点M，和M，描述的图形的方程（巴斯卡牛线，其中在a=b时为心脏线）。任一巴斯卡蚶线是线吗？75.直线x=a交Ox轴于点A，而任一射线OB交直线于B，在射线上从B点向两侧截取线段BM和BM，使其等于线段AB，写出所有点M,和M2形成的图形Φ的方程（环26
索线），图形Φ和ΦA是线吗?这些图形能是曲线的象吗？76。过由极坐标给出的点E（a，晋）作平行极轴的直线，任一射线OK交这直线于点K，在射线上从点K向两侧截取长为1的等长线段KM，和KM2，写出所有点M，和M2组成的图形方程（尼哥明达蚌线），尼哥明达蚌线是线吗？它能是曲线的象吗？77.长为a的线段AB其端点沿直角坐标系的坐标轴滑动，分别平行坐标轴的直线AC和BC交于点C，从C作直线AB的垂线CM，写出M点组成的图形方程（星形线），星形线是线吗？78。写出圆的渐伸线的参数方程，即从固定的圆形平面线圈上松卷时拉紧的线的端点轨迹。79，半径为a的圆沿直线作无滑动的滚动，列出与圆联成刚体并离圆心距离为d的点M的轨迹方程（在d=a时为摆线，d<a时为缩短摆线，d>a时为伸长摆线）。80.半径为r的圆沿半径为R的圆的外侧作无滑动的滚动，列出滚动圆的点M的轨迹方程（外摆线），在r=R时情况如何？81。半径为r的圆沿半径为R的圆的内侧作无滑动的滚动，写出滚动圆的点M的轨迹方程（内摆线）。在R=4r，R=2r时，情况如何？82.已知曲线x=t32t，y=t2~2。点M（-1，-1)、N（4，2)，P（1，2)在它的象上吗？求曲线的象与坐标轴的交点，写出曲线象的隐式方程。27E
83.求圆×2+y2-2ax=0的参数表示，采用参数：1过坐标原点和圆上点的直线的斜率，2）0x轴与过圆上的点和圆心的直线的夹角。84一91，作出下列曲线的象(84)x=t2-t+1, y=t2+t+1o(85) X = t 2-2 t +3, y = t2-2 t (86)x=asin2t,y=bcos?t。aa(87)V1+ t2'(88)x=3t+3-t-ta(89)AattHax=alnt,(90)O+2tx=a+R=t3y=b+R(91)+.t21+t2"92。双曲线的参数表示能取为1baX22tT当参数t由一α增大到+c时，点沿着双曲线怎样运动？需要作怎样的参数变换可使双曲线的右边分支的参数表示为x =aCh@,,y=bSh?93。证明：方程x=acoso,y=bsine1-t22 ty=h和 X=a1+t 291+t2是同一曲线的参数表示，作出这个曲线的图形，当参数t由28