第一章矢函数．曲线、线和曲面的概念1.证明：矢函数r=（M）的分量根据下面的规则求得xj(M) -T:r(M)(j=1,2,", n)*其中（i，i2，"，i.）是空间R"的规范基。26．证明：由极限lim r;(M) =ai(i=1,2,3),Mi-Molimf（M)=入M-Mo的存在，可得出下列极限的存在和相应的公式：(2) lim (ri(M)±rz(M))=a,±a20M-→Molim (f(M)r(M))= >a1o(3)M→Molim (fi(M) .r,(M))=a,a20(4)M-Molim (ri(M) ×r,(M))=a, × a20(5)M-+Molim (ri(M),,(M) ,-,(M)(6）M→Mo= (ai,az,as).7。证明：矢函数的连续性与它的各个分量的连续性等价。19
8.由失函数=～（M)的连续性能得出函数1|=1r（M）1的连续性吗？反过来正确吗？9一13.证明：若矢函数r（M)和函数f（M）在点M。连续，则下列函数在这点也连续：(9)F,(M) ±r2(M)。(10) f(M) . r(M)。(11)r(M).r2(M)。(12)r(M) × r,(M) 。(20)(r(M),r2(M),r,(M))。14、证明：关函数的光滑性与它的各个分量的光滑性等价。15. 证明： 一(k)(t) =(x,(k)(t),x, (k)(t),xn()(t))16—20.证明：对于C1级失函数ri：I-→R和函数f：I→R，下列公式成立：(16）（r±r2）(17)(18)(19)(20)r3)+r2126.求下列一个实变量t的函数的导数；(23)r*r"(21)F2.(22)-/2。(24)(F",r",r")。(25)(r/×")×"(26)27.证明椭圆切线的平分线性质：椭圆在它任意点M的20
切线是切点的两焦半径夹角的角平分线。28.对于矢函数：r（t）=（t2+8，4t-7，t+5），求t。值，使线性映射r（t。）将数2映成矢量（4，8，2)。29.由矢函数=（t）的光滑性能得到函数～「=!（t）「的光滑性吗？30.对于函数r（t）能判定下列等式成立吗？1)/r/-/r1? 2)r./=/rlrl?31证明：欲使矢函数r=（t）在某个区间具有零导数的充要条件是矢量r（t）是个常矢，即与t无关。32.证明：欲使矢函数r（t）和r（t）在某个区间的所有点上正交的充要条件是r（t）「=常数。33。设r=r（t）是C1级的矢函数，r（t）丰0，欲使量r（t）具有固定方向，其充要条件是在t的变化区间内矢量r（t）和r（t）共线。试证之。34.设C"级的矢函数r=r（t）在它的定义域上所有点都满足关系式：(r'(t),r"(t),r(t)") =,r(t) ×r"(t)+。证明，由矢函数r=r（t）确定的曲线是平面曲线。35.设对定义在区间］a，b［上的C2级矢函数rr（t）导数r（t）和r"（t）在所有tE］a，b【均不为零且共线。证明，矢函数r=r（t）确定的曲线的象是直线段。36.如果矢量r，和r，不共线，证明，由矢函数r=r。+tr+tr(tER，其中r,r,r是常矢)21
给出的曲线的象是抛物线。在矢量r，和r，共线的情况下曲线象是什么？37.如果矢量r，和r，不共线，证明，由矢函数r=r.+costri+sintr2,tE【,2π］，,给出的曲线的象是椭圆。在量r，和r2共线的情况下，曲线象是什么？38。如果矢量r，和r2不共线，证明：由失函数r=r。+chtri+shtr2，tER,给出的曲线的象是双曲线的一支。在矢量r，和r2共线的情况下，曲线象是什么?39.证明：在中心力作用下质点运动的轨迹是平面曲线。40。证明：两个光滑的参数表示的曲线r（t）=（t，0，0）和r（t）=（t，0，0）不等价，尽管这两个曲线中每一个的象都是直线。41。证明：下列平面图形都是线，并指出它们的任一参数表示：1)直线，2)圆，3)椭圆，4)抛物线，5)双曲线。42.证明：圆S不可能有线的定义意义下的参数表示(I,r)使r(I)=Sl。43。证明：所有正曲线（I；r）局部地都是简单曲线，即对于任何t。EI都存在区间JCI，使t。EJ，且（J，rI）是简单曲线。44。证明：正则曲线的象局部是线。45。证明：所有正则曲线恰好可确定两个有向曲线。46.证明：欲使矢函数=r（u，v）在某个区域内偏22
导数为零或微分为零，其充要条件是矢量r（u，v）是常矢。47.证明：欲使矢量r（u，v）在参数u和v变化的某个区间内的每一点上同矢量aur（u，）和ruv）都正交的充要条件是lr（u，v）=常数。48.设r=r（u，v）是C1级的矢函数，证明：欲使失量r（u，v）有固定方向的充要条件是在参数u、v变化区域内矢量r（u，）与矢量aur（u，）和r（u，v）共线。49。证明：欲使满足条件araur的光滑失函数r=（u，v）的象含于某个平面的充要条件是矢量ar和aur平行于这个平面。50-53.设。、r1、r2、rs是常矢，且矢量r1、r2r，均不共面，求下列失函数的象：(50)r=r。+uri+u2+yrs1.(51)r=r.+cosuri+sinur2(52)r=ro+(u+1) ++(ur2+yrso1u(53)r=,+ucosv-,+usinv-2+u*r3054.证明：平面是简单曲面。写出它的任意两个参数表示。55一63.证明：下列图形是在R"内的曲面，并建立它们的参数表示：(55)球面，（56）椭圆面，（57）椭圆抛物面（58）单叶双曲面，（59）双叶双曲面，（60）椭圆柱面，（61）抛物柱面，（64）双曲柱面，（63）不包含顶点的锥面23