3）双正则的，如果对于所有内点t。EI有-(to)tr"(to)。两个Ck级道路（I，r=r（t））和（J，p=p（s）），其中I、J是区间，称为等价的，如果存在C级微分同胚入：I→J，使r（t）=p（入（t））。等价道路（参数表示的曲线）类称为曲线。而这个类的每一道路称为曲线的参数表示。确定两个道路等价性的函数入：I→J称为参数变换。如果（I，r）是道路，则集合r（I）CR"称为这道路的象。构成已知曲线的所有等价的道路具有同一个象，它称为这条曲线的象。通常称曲线的象为曲线，虽然各种曲线可以有同一个象。曲线的象含在某个平面内，曲线称为平面曲线。如果曲线存在它的参数表示是简单的（正则的，双正则的），则曲线称为简单的（正则的，双正则的）。设给出道路r=r（t），考察所有与它等价的道路，这些道路是用具有正导数入（t）>0的参数变换s=入（t）所得到的。这些道路的类称为定向曲线。曲线的参数表示r=r（s）称为自然参数表示，如果r/（s）/三1。所有的正则曲线都容许自然参数表示，通常用S表示的自然参数是曲线的弧长，这弧长是从某起始点计算，并按符号+或一所取的R“的子集L称为C级的线（或一维流形），如果对于所有点MEL，在R中存在该点的邻域W和Ck级的正则道路（I，r），它们满足条件：r（I）=WnL，且r：I→WnL是同胚。道路（I）称为线L的参数表示。线L称为简单线，如果存在这样的参数表示（I，r），使r（I）=L。如果（I，r）和（J，p）是线L的两种参数表示，则道路（I，r）和14
（J，p）是等价的。如果子集L包含在某个平面内，则线L称为平面线。设M为线L的某-点，（I，r）为L的参数表示，它使M=r（t）。过点M并使其方向矢量为量r（t）的直线称为线L在点M处的切线。对于曲线和道路可类似地定义切线，道路=r（s）为曲线（或线）的自然参数表示，矢量r"（s）称为曲线（线）在点s的曲率矢量，而它的长/r"（s）称为曲率，并用k（s）（或k）表示。过点p（t。）并使其有矢量p（t。）和p"（t。）为方向失量的平面称为双正则曲线（线）p=p（t）在点t。的密切平面。对于双正则曲线（线）的自然参数表示r=r（s）矢量一"（s）与相应点的切矢量垂直。位于密切平面内半径为1，。、一"（s）的圆称为双正则（），且中心在点（s）（）曲线（线）在点s处的密切圆。标准正交标架（r（s)，α（s），（s)，（s)），其中α(s)=(s),(s)个个"(s），且矢量(α(s),阝（s），（s））构成右手系，称为定向双正则曲线（线）在点s的伏朗内标架。曲面R"的子集S称为Ck级曲面（或二维流形），如果对于所有的点AES，在R‘内存在该点的邻域W和偶（U，r）其中U为R2中的区域，r：U-→R3，它们满足下列条件：15
1)映射r：U→R°，（u，v）{→r（u，).属于Ck级。2)r(U)=WnS且r:U-Wns是同胚。3）对于所有点（u，v）EU,量u（u，v）和ar（u，v）不共线，即dr（u，v）的秩=2。偶（U，r）称为曲面S的参数表示。参数u，v是其上的曲线坐标。曲面S称为简单曲面，如果存在它的参数表示(U，r）使r(U)=S。设S是R中的C级曲面，如果（U，r）是它的参数表示，V是R2中的区域，且入：V→U是C级的微分同胚，则偶（V，r。入）也是S的参数表示。另一方面，如果（U,，r）和（U2，『2)是曲面S的两个参数表示，且r(U)=r(U,),则映射入=r2-1。r1:U1→U2是Ck级的微分同胚，并称它为参数变换。映射p：I→S，其中I是直线上的区间，称为在R3中的曲面S上的光滑道路（线），如果映射P：I→R3是光滑的（相应地，如果p（I）是在R中的线，而（I，p）是它的参数表示）。设p：I→S是在曲面S的光滑道路（线），（U，r）是S的参数表示，而且p（I)Cr（U），则使r（ut）=p（t）的光滑矢函数μ：I→U称为道路（线）的内部表示，在此（I，μ）是区域U上的道路（线）。在曲面S上的曲线称为坐标曲线，如果它的内部表示具有形式：u=u。+t，v=v。或u=uo，v=v。+to。对于在曲面S上的已知点M，R在点M的切矢量h，称为曲面S在点M的切矢量，如果在曲面s上存在道路（I，p）使得p（t）=M，p（t。）=16
五。曲面S在点M的所有切失量的集合是TMR中的二维量子空间，以TMS表示并称为曲面S在点M的切空间。如果M=「（u，），其中（U，r）是S的参数表示，则矢量aur（u，v）和ar（u，）（也可分别表示为aurM和arM）是过点M的坐标曲线的切矢量，并构成切空间TMS的基。基（aur，ar）称为曲面S的活动基，此时TS=dr（u，v）（R2）。R中过点M并以TMS为其方向子空间的平面称为曲面S在点M的切平面。过点M并垂直切平面的直线称为曲面S在点M的法线。将每点MES或（MEQCS）映到曲面S在点M的切矢量M的映射称为曲面S（或子集Q）上的矢量场。场aur和ar可作为在子集r（U)CS上的矢量场的例，其中（U，r）是S的参数表示，这两个失量场称为基本失量场。对于在曲面S上的矢量场、n和函数f，矢量场的和及矢量场与函数的积的运算根据下列公式定义：(E+n).i=EM+nM,(fE)M=f(M)EM这里等式右边的运算是定义在矢量空间TMS中。如果矢量场定义在子集（U）CS上，则有分解式=a成立，其中1，2是定义在r（U)上的函数。这些函数称为场关于活动基（aur，ar）的分量。如果场是定义在整个曲面S上，则场限制在子集r（U）上的分量称为场关于活动基（aur，ar）的分量。矢量场称为连续的，如果它的分量关于任何活动基都是连续函数。曲面S的定向，是在每一个切矢量空间TMS中定向的选择，它等价于对所有MES与TMS正交的单位量nM的选17
择。如果在所有点上活动基是正的定向，即如果基（?r，ar，n）等价于R8的规范基，则称曲面S的参数表示（U，r）是与定向一致的。如果对于S的所有点M都可求得与定向一致的参数表示(U，r），使MEr（U），则称曲面S的定向为连续定向。通常只研究连续定向。曲面连同它的连续定向称为定向曲面。曲面S到空间R内的映射f：S→RI称为光滑映射，如果对这个曲面的任何参数表示（U，r）定义在R2中的区域U上的函数f。r：U→R"是光滑的。特别当n=1时，就得到在曲面上的光滑函数的定义。设Q是在R内的另个曲面，考虑到Q是在R3的子集，故映射f：SQ可看作S到R内的映射。映射f：S→Q称为光滑的，如果它作为S到R内的映射是光滑的。在曲面S上的失量场称为光滑的，如果关于任何活动基它的分量都是光滑函数。基矢量场ur和r是光滑的。设f：S→Q是曲面的光滑映射，p=p（t）是在曲面S上过点M=p（t.)的光滑道路，则fop=（fop）t）是在曲面Q上过点M'=f（M）=f。p（t）的光滑道路。将切矢量p（t。映到切矢量（fop）（t）的从TmS到TMQ内的映射，称为映射f在点M的微分映射（或诱导映射），记为dfM。微分dfM：TMS→TMQ是线性映射。18