(M， h) + (M,P) = (M, h+P)α(M,)=(M,αh)(M, h).(M, P) =五.P关于这些运算TMR是一个欧几里德矢量空间。而矢量（M，i）、（M，i）、（M，k）构成它的正交基。当切点M明确时，切矢量（M，五）能简单地用h来表示。在R8（或它的某个子集）的每个点指定R°的一个切矢量，就称为R‘（或R‘的某个子集）上的矢量场。矢函数设U是空间Rm的某个点集，使每个点（u1，u2um）EU映到矢量r（u1，u2，，um）ER"的映射r. U→Rn(2)称为m个数量变量的矢函数。确定一个失函数相当于确定n个数量函数（称为它的分量）：r(ui,uz,...um)-(x,(ui,uz,um),..*,xn(u1,...um))。设矢函数r定义在点M。ER㎡的某个邻域中，或许除点M。本身以外，此外，a是某个固定的矢量，如果对于&>0,38=8(8)>0,使0<IMM./<8->/r(M)-a/<&,则矢量a称为矢函数r的极限，并记为a=limr（M）。M→Mo定义在点M。的某个邻域中的矢函数（2）称为在该点是连续的，如果9
limr(M)=(M。)。M-Mo在一般情况下，对于任意点M。EU,如果对点r（M。在Rn内的任何邻域W可求得点M。在R"的邻域V，使r（VnU）CW，则矢函数（2）称为在点M。是连续的。映射r：UV，这里U是R"的子集，V是R"的子集，称为同胚，如果是双射且和r-1均疑连续的。我们考虑定义在直线R的开集上的函数r=r（t），即一个实变量t的矢函数，如果这失函数在点t有定义，且存在极限：r(to+At)-r(t)lim△t△t→o那么称这极限为已知矢函数在点t。的导数，并用符号！（t。）（t。）表示。这样产生矢函数了’称它为矢函数了或at的导失函数。～"的导数称为失函数的二阶导数，k-1的导数称为失函数的k阶导数rk。具有k阶连续导数的函数属于Ck级函数，具有任意阶导数的函数称为C级函数。通常将C级函数称为光滑的。矢函数r=r（t）的导数r（t）与使每个ER映到矢量r（t）的线性映射r＇（t。）：R→R"能够同样看待，这个映射满足等式：lim [(t o+At)-tp-At'(to)l- 0.1Atl△t-0通常称这个线性映射r（t）：R→R"为微分，并记为10
drt,-ri(to)dt.定义在线段J=【，β］上的矢函数=r（t）称为光滑的，如果存在定义在包含线段J的区间I.&，b［上的光滑矢函数p=p（t），使pl=。对属于Ck级的一个实变量的矢函数r有台劳公式：F(t +At)=I(t)+Atr'(t)+(At)'r(t)2!(At)k(r(k)(t) +e(t, At)),+..k!e(t,At)=。其中lim△t-→0现在考虑定义在变量为u，的R的子集上的矢函数（2），这个函数在点（uo，v。）的偏导数由下列方式确定：aur(uo,v,)=ru(uov)r(uo+h,)-r(uo,y.)= limhh→0,r(uo,v,)=r,(ua vo)r(uo, Yo+h)-r(uo, yo)limhh-→0uu(),(),uraurruu=au()a()。矢函数r：U→Rn，（u，）→r(u，v)，其中U是在R内的区域，称为在M。ER"处可微的，如果存在线性映射1：R2→R"，使[r(M。+h) --(M。)- 1(h)llim1五1[h]→011
在点M。可微的函数在该点是连续的，而线性映射1：R→R"是唯一的且称为矢函数r=r（u，）在点M。的微分（或导数），记为drM。。微分drM.可以表示为TM。R到Tr（M。）R"内的映射，只需将量hER看作为R在点M。的切矢量（M。，五），而将矢量dTM。（五）=1（五）ERn看作为Rn在点r（M。）的切失量（r（M），drM。（h））。如果矢函数p=p（t）满足条件p（t。）=M。，（t。）=h，那么矢量drM。（h）与矢函数（r。p）的导数（r。p）（t。重合。矢函数r=（u，）称为可微的，如果它在U的每一点可微。坐标u和v能够理解为在U上的函数，u：（u，）→u，:（u，）[→。这些函数是可微的，而它们的微分du和dv与切线矢量（M，h）对应，其中五=（h，h2）,h，和h为相应的数，即du（五）=hi，dM（五）=h。对微分du和d的这种表示有公式:dr=aurdu+ard。对于切矢量h=（h1，h，)，d(h)=audu(h)+,rd(h)=aurhr+a,rh2若r(u,v)=(f(u，),",f(u,v)),且M。=（uo，v。），则微分drM。可用雅科比矩阵给出：auf(u)af,(uo,v)anf,(us,vo).a,f(uo,vo)a.f(ug)ayfn(uo,v)/当线性映射由它的矩阵给出时，R到R"内的线性映射空间(R2，R")可以看作空间R2，对于可微的矢函数12
=（u，）可产生失函数d→R2n。矢函数d在点M处的微分称为矢函数r在点M处的二阶微分并记为d2rM失函数=（u，v）称为二次可微，如果在U的每一点都存在d2r。若dr是连续的，则称r为连续可微的（或为C1级的）3若d2r是连续的，则为C2级的。这样可逐次确定k阶微分和Ck级矢函数。为简便起见C级矢函数称为光滑的。线性映射d2rM: R2-(R2,R"),h -d2rM (h)可看作为按下面规则确定的R2×R到R"的双线性映射（同样可表示为d2rM)：d2ri(h,p)=d2rm(h)(p)双线性映射d2rM是对称的，而对应它的二次形式通常记为:d2r=auurdu?+2aurdudardy设U、V是在Rn中的区域，映射f：U→V称为Ck级微分同胚，如果f是双射且与其逆映射f-1均属Ck级的。曲线和线设I是在直线R上的区间、线段或半开集。Ck级矢函数r：I→R"称为在空间R中的Ck级道路（或参数表示的曲线），并用（I，r）表示。道路（I，）称为：1）简单的，如果映射r是一一的，2）正则的，如果对于所有内点t。EI有ri(t.)+0s13