gf: X-z, x lg (f(x)),它称为映射f和g的合成。两个集合X和Y的直积（或笛卡尔积）是所有的偶（x，y）的集合，其中，xEX，yEY：XxY=((x, y)Ixex, yey)。空间Rn由n个实数的有序组（x1，x2，xn）组成的集合R"=((x1,X2,...xn)Ix1,x2,".XnER)能够赋予不同的结构。R"是n维实矢量空间，据此R"中的元素可称为失量，并用符号a，，，y，…表示。由矢量1=(1,0,,0),T2=(0,1,0..,0),...1,=(0,0,",1),组成的空间R"的基称为规范基。在R°中的规范基用（i，了，）表示。：我们可将R"看作为与失量空间R"联系在一起的点的仿射空间。此时R"的元素既可看作是点，并用符号M，N，….表示，也可看作是失量a，x，…。矢量=（×1，"）关于规范基具有坐标×1，×2"，xn，点A（xi，"，xn）关于标架（O，i,i2,i。,i,）具有同样的仿射坐标，其中=（0，0，,0)是坐标原点。如果使空间R"的任意两个量x=（x1，X2xn）和4
y=（yi，y2，…yn）与称为矢量x和y的数量积的数：x.y=xiyi+x2y2++xnyn相对应，那么R“成为n维欧基里德空间。在这个空间中能引入两点：M=（x1， ×2，，X）和N=（y1,2,，yn）间的距离的概念：nIMNI=VZ.(xi-yi)2i-1特别是，对中学数学课程中研究的平面和空闽，如果在它们中选取笛卡尔坐标系，则能够分别看作为R2和R‘。集合B(A, ε) =MERnAMI<ε?称为球心在点A，半径为ε>0的球，这个球称为点A的8邻域。R"的子集U称为开集，如果对它的每个点A，它都包含球心在A的某个球。所有包含点A的开集都称为该点的邻域。点AER称为集合UER"的接触点，如果这个点的任何邻域至少包含U里的一个点。集合U的所有接触点的总合称为集合U的闭包，并用符号U表示。如果U=U，则集合U称为闭的。系如果不存在不交的开集U，和U，这两个开集将集合V分为两个非空子集V,和V2，使V,CU1，V,CU2，则集合VCR"称为连通的。开连通集合称为区域，区域的闭包称为闭区域。如果集合U内的点连同它的某个邻域都属于集合U，则5
该点称为集合U的内点。集舍U的所有内点的总合称为该巢合的内部。如果在点MER"的任何邻域中既存在属于集合UR的点，又存在不属于集合U的点，则点M称为集合U的边界点。集合U的所有边界点的总合称它的边界，并用符号U表示。在空间R"中所有点的子集皆称为空间R"的图形Φ。给出个含有x1，x2，…，n的方程称为图形Φ的方程，如果R"的属于图形Φ的点且仅仅是属于图形Φ的点满足此方程。设1：R㎡→R"是一个线性映射，（il，i2，，im)是R"的规范基，（T，i2，，)是R"的规范基，并设Al(ik)=Zαjk'ij（k=1，2，"m）。矩阵j-1(αjk) 1<j≤n1<k<m称为线性变换1的矩阵，它的列是矢量1（i）的坐标。如果×=（x1，I2，，Xm）ERm,且1(x)=(1,y2,.…yr)ER",那么myi=Zαjkxk。k-1m维矢量空间V的两个基（e,,e,,…em）=［e)和（a二部a,,，am=【a】称为等价的,如果由基【e到基ra]的变换矩阵的行列式（即空间V的由基Le］到基【a】的线6
性变换的矩阵）是正的。空间V的等价基的类称为这个空间的定向。每个失量空间仅仅存在两个定向，其中一一个称为正的，另一个称为反的。这样，空间的定向的选择等价于这个空间中基的选择。如果V是在R中的二维子空间，（e1，e，）是V的基，而n是R"的不属于V的非零矢，则（e，e，五）是R"的基。如果矢量n已被选定，而基（e1，e，n）与R"的规范基等价，则基（e1，e2，）称为正的。这样，确定V的定向等价于确定矢量n。通常将n取为与V正交的单位失量。线性映射α：R"→R称为在矢量空间R"上的线性形式。设α（ik）=α，那么对于量h=（h,h2,..hn）有nα(h) =Zαkhk。k-1坐标函数ui: Rn→R,(u,u2,,un)uii=l2, , n)是线性形式的例子。满足下列条件的映射β：R"×R"→R称为在矢量空间R"上的双线性形式：β(h,+h,,p)=β(h,p)+β(h,,p)β(α,)=β(,)β (h, pi+p,)=β(h,P,)+β (,p2)β(h,ap)=αβ(h,p)。如果β(i,in)=βkl,h=(h,.hn),p=(p,",P），则7
nβ=MβkihkPihD.k,1-1如果β（五，）=β（，五），则称双线性形式β是对称的。如果β（五，）=－β（，），则称双线性形式β是反对称的（或称为2一形式）。对于对称双线性形式有βk1=β1k，对于反对称双线性形式有βk1=-β1k。映射g：R"→R称为失量空间R"上的二次形式，如果存在双线性对称形式β，使q（h）=β（五，五）。在坐标下q（h）可用下面公式表示，nq (h)=Z βihhl.k,1-1二次形式q称为是与双线性形式β相对应的形式。设α和β是在矢量空间R"上的两个线性形式，2一形式αB:R"×Rn-R称为这两形式的外积，它由下式确定：(αβ)(,)= (α()()-α()())α(h)α(p)二β(h)β(p)设M是空间R"中的任意点，偶（M，五）称为R"在点M处的切失量，这里h是R中的任意矢量。切矢量（M，h）能够表示为点的这样的有序点对（M，N），使对应于点对的矢量与一致（即M+h=N），而作为矢量五已被放到点M处。R"在点M处的所有切矢量的集合TMR=（（M，五）/五ER°）称为切矢量空间。对R中矢量的运算，可根据下面原则转到同一点的切矢量上：8