实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是 1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火 焰,它使金属板受热.假定板上任意一点处的温 度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个 蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到 达较凉快的地点? 问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行

一、主要内容 平面点集 多元函数概念

微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面 定义设M是空间曲线L上的一个定点,M是L上的一个动点,当M*沿曲线L趋于M时,割线MM*的极限位置MT(如果极限存在)称为曲线L在M处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程

多元函数极值 一、多元函数的极值和最值

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x,yo)的某一邻域内具有连续的偏导数,且F(x,yo)=0,F(x,yo)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x,yo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件yo=f(x),并有

这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数 微分法中仍然适用,那么为什么还要介绍多元

一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得

我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个,但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下,只考虑函数对其中一个自 变量的变化率,因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题,这就是偏导数概念,对此给出如 下定义

在上册中,我们讨论的是一元函数微积分 ,但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量 的函数多元函数,也提出了多元微积分问题。 多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展, 它们既有相似之处(概念及处理问题的思想方 法)又有许多本质的不同,要善于进行比较, 既要认识到它们的共同点和相互联系,更要注 意它们的区别,研究新情况和新问题,深刻理 解,融会贯通

直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的,为了求出更多的积分,需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。 在微分学中,复合函数的微分法是一种重要的 方法,不定积分作为微分法的逆运算,也有相应 的方法。利用中间变量的代换,得到复合函数的 积分法换元积分法。通常根据换元的先后, 把换元法分成第一类换元和第二类换元