函数的连续性 函数的连续性 1.函数的增量 设函数f(x)在U(x0内有定义,Vx∈U5(x, △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 △y=f(x)-f(x),称为函数f(x)相应于Δx的增量 J y=f(x) y=f(r) △ △v: x0x0+△xx +△u
函数的连续性 一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x0 x0 + x y = f (x) x y x y 0 0 x x0 + x x y y = f (x)
2连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x)内有定义如 果当自变量的增量△x趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即lm△y=0或 △r→>0 imf(x0+△x)-f(x0=0,那末就称函数 △x→0 ∫(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=∫(x)-∫(x), △x→>0就是x→x,4y→0就是∫(x)→>f(x
2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为f (x) 的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U(x)内有定义,如果 函数∫(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 点x处的函数值f(x),即limf(x)=f(x) 那末就称函数∫(x)在点x连续 "E-8"定义 VE>0,38>0,使当x-x<6时, 恒有f(x)-f(x)<E
定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) U x0 内有定义,如 果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
例1试证函数∫(x)= xsin-,x≠0 在x=0 0. 0 处连续 证: lim x sin-=0, →0 又∫(0)=0,Iimf(x)=f(0) x→0 由定义2知 函数∫(x)在x=0处连续
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, lim ( ) (0), 0 f x f x = → 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续
3单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x0), 则称f(x)在点x处左连续; 若函数f(x)在x0,b内有定义,且f(x0+0)=f(x0) 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续台是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x