微积分研究的主要对象是函数因此,如何寻找函数 关系,这在实践中具有十分重要的意义 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中,反映变量之间内在联系的函数关系,往往都不能直接 得到,而必须通过建立实际问题的数学模型——微分方程

9.4在极坐标系下二重积分的计算 在二重积分的计算中,最基本最常用的换元法是极坐标法

在计算定积分时,换元法是一种强有力的方法.在计 算二重积分时,也常用此法特别是二重积分f(x 不易计算时,我们也可根据积分区域D的形状和被积函数 x=p(u, p) f(x,y)的特点,用一个适当的变换

定义1设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成;其 中底是x平面上的一个有界闭区域D,侧面是以D的边界 曲线C为准线、母线平行于轴的柱面,顶是一曲面,其 方程为=f(xy)(xy)∈D,连续且f(xy)≥0 则称此立体为曲顶柱体

若直接用二重积分的定义去计算它的值,将是复 杂和困难,甚至是不可能的下面利用二重积分的几 何意义来寻求二重积分的计算方法

在现代经济管理中,有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题同一元函数类似,其最值也与其极 值有十分密切的联系;故以下以二元函数为例用多元函 数微分法先来讨论多元函数的极值,再讨论多元函数的 最值. 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) 类型I:讨论z=f(xy)的极值——无条件极值 类型Ⅱ:讨论z=f(xy)在约束条件(xy)=0下的极值 条件极值

因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 地位,下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的 情形

本节研究二元函数在两个自变量都有微小变化时,函数改变量的变化情况. 一、全微分的概念

在研究一元函数时,已经看到了函数关于自变量的 变化率(导数)的重要性.对于二元函数也同样有一个处于 重要地位的函数变化率问题.因二元函数有两个自变量 且这两个自变量是彼此无关的,故可考虑函数关于其中 的一个自变量的变化率,此时将另一个自变量看作不变 这种变化率称之为偏导数

前几章讨论的函数y=f(x)是因变量与一个自变量 之间的关系,在此关系中,因变量的值只依赖于一个自 变量,称这类函数为一元函数但在许多实际问题中往 往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,这时因 变量的值依赖于几个自变量