§8.8多元函数的极值 在现代经济管理中,有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题.同一元函数类似,其最值也与其极 值有十分密切的联系;故以下以二元函数为例用多元函 数微分法先来讨论多元函数的极值,再讨论多元函数的 最值 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) 类型I:讨论z=f(xy)极值—无条件极值 类型Ⅱ:讨论z=f(xy)在约束条件(xy)=0下的极值 条件极值
1 值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) §8.8 多元函数的极值 在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题.同一元函数类似，其最值也与其极 数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的 最值. 类型Ⅰ：讨论z=ƒ(x,y)的极值——无条件极值 类型Ⅱ：讨论z=ƒ(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值—— 条件极值
无条件极值 定义10设函数=f(xy)在点(x,y)的某个邻域内有定义, 若对于其相应去心邻域内的所有点(xy),恒有 f(x, y)<f(xo, yoeif(x,y)>f(xo, yo)) 则称f(x2y)为函数f(x,y)的极大值(或极小值) 函数的极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点统称为极值点 注1与一元函数类似,函数的极值概念是“局部”概念 与函数极值比较大小的,只是极值点邻近各点的函数值
2 一.无条件极值 若对于其相应去心邻域内的所有点(x,y)，恒有 0 0 ( , ) x y 函数的极大值、极小值统称为极值. 0 0 f x y f x y ( , ) ( , ) 0 0 ( ( , ) ( , ) ) 或f x y f x y 0 0 则称 为函数 的极大值 ( , ) ( , ) f x y f x y ( ). 或极小值 使函数取得极值的点统称为极值点. 注1 与一元函数类似，函数的极值概念是“局部”概念： 定义10 设函数z=ƒ(x,y)在点 的某个邻域内有定义, 与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值
定理8(极值存在的必要条件)若函数f(x3y)在点(x,y) 处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有 f(x,y)=0,f(x0,y)=0 证因二元函数xy)在点(x,y)处有极值, 故固定y=y时有一元函数z=f(xy)在点x处也 定有同一极值,故f(x0,y)=0; 同理可证f(x02y)=0 定义11能使∫(x,y)=0和(xn,y)=0同时成立的点 x,y)称为函数f(xy)的驻点
3 定理8 (极值存在的必要条件) 若函数ƒ(x,y)在点 0 0 ( , ) x y 0 0 0 0 ( , ) 0, ( , ) 0. x y f x y f x y = = 一定有同一极值，故 0 0 ( , ) x y 0 y y = 0 z f x y = ( , ) 0 x 0 0 ( , ) 0; x f x y = 0 0 ( , ) 0. y 同理可证 f x y = 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y = = 和 0 0 ( , ) x y 称为函数ƒ(x,y)的驻点. 处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有 证 因二元函数ƒ(x,y)在点 处有极值， 故固定 时有一元函数 在点 处也 定义11 能使 同时成立的点
注2由定理8知:在偏导数存在条件下,极值点必为驻点 但驻点却不一定是极值点如点0是函数z=x2+y2 的驻点,又是极小值点x(0,0)=0; 但点(0,0)是函数z=y2-x2+1的驻点但却不是极值点 (因z(0.0)=1,而(0y)>1,x(x,0)<1) 怎样判断驻点是极值点呢? 同一元函数一样,有如下充分条件 定理9(充分条件)若函数=(x,y)点(x,y3)的某邻域内 有连续的二阶偏导数,且(x,y)是驻点令 A=f(o, yo), B=fry(o, yo), C=f(xo, yo,q
4 (因z(0,0)=1,而 z(0,y)>1, z(x,0)<1). 2 2 z x y = + 2 2 z y x = − +1 同一元函数一样，有如下充分条件： 定理9 (充分条件) 若函数z=ƒ(x,y)点 0 0 ( , ) x y 0 0 ( , ) x y 注2 由定理8知：在偏导数存在条件下,极值点必为驻点. 但驻点却不一定是极值点. 如点(0,0)是函数 的驻点,又是极小值点z(0,0)=0; 但点(0,0)是函数 的驻点,但却不是极值点. 怎样判断驻点 是极值点呢？ 有连续的二阶偏导数，且 的某邻域内 是驻点.令 0 0 0 0 ( , ), ( , ), A f x y B f x y xx xy = = 0 0 ( , ), C f x y yy = 则
)若B2-4C<0,且A<0,则/(x,y是极大值 (2)若B2-AC<0,且A>0,则f(x2,y)是极小值 (3)若B2-AC>0,则f(x2y)不是极值; (4)若B2-AC=0,则f(x0,y)是否为极值需另法判别 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识,在此略去 例29确定函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9的极值点 解由方程组 f(x,y)=3x2+6x-9=0 得驻点 f(x,y)=-3y2+6y=0 (1,0),(1,2),(-30)、(-3,2)
5 2 0 0 (1). 0, 0, ( , ) ; 若 且 则 是极大值 B AC A f x y − 2 0 0 (2). 0, 0, ( , ) ; 若 且 则 是极小值 B AC A f x y − 2 0 0 (3). 0, ( , ) ; 若 则 不是极值 B AC f x y − 2 0 0 (4). 0, ( , ) . 若 则 是否为极值需另法判别 B AC f x y − = 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去 . 3 3 2 2 例 确定函数 的极值点 29 ( , ) 3 3 9 . f x y x y x y x = − + + − 2 2 ( , ) 3 6 9 0 ( , ) 3 6 0 x y f x y x x f x y y y = + − = = − + = 解 由方程组 得驻点 (1,0),(1,2),(－3,0),(－3,2)