西南财经大学：《经济数学基础》课程PPT教学课件（微积分）第九章 二重积分（9.4）在极坐标系下二重积分的计算

§94在极坐标系下二重积分的 计算 在二重积分的计算中,最基本最常用的换元法是 极坐标法 x=rcos e 当变换为极坐标变换 的特殊情形下, raine ax ax 其雅可比行列式为J ar a0 cOS θ rsin 0 SIn roser ar a0

1 §9.4 在极坐标系下二重积分的 计算 在二重积分的计算中,最基本最常用的换元法是 当变换为极坐标变换 cos sin x r y r        cos sin . sin cos x x r r J r y y r r r                   其雅可比行列式为 极坐标法. 的特殊情形下

注1J仅在r=0处为零,故不论闭区域D是否含有极点 换元公式仍成立即 f(x, y)dxdy=l f(rcos e, rsin O)rdrde 注2因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与D 是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x的方 程,而D′的边界方程是关于r,O的方程故上式又可 写成: Js(x, y)dxdy=f(rcos e, r sin O)rdrde 注3当二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标 表示比较方便(如D为圆形、环形、扇形等)或被积函 数用极坐标变量r,O表示比较简单(如被积函数为

2 注1 J 仅在r  0处为零,故不论闭区域D是否含有极点, 换元公式仍成立.即 ( , ) ( cos , sin ) . D D f x y dxdy f r  r  rdrd     注2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与 是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x,y的方 程,而 的边界方程是关于r,θ 的方程.故上式又可 写成: D D ( , ) ( cos , sin ) . D D f x y dxdy  f r  r  rdrd   注3 当二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标 表示比较方便(如D为圆形、环形、扇形等)或被积函 数用极坐标变量 r,θ 表示比较简单(如被积函数为

f(x2+y2)f(2),f(x)等)时,我们通常采用极坐标来计 算二重积分.极坐标系中的二重积分的计算也要化为 二次积分来计算 注4设积分区域为D:{(O)≤r≤(0) a≤6≤B 显然D的边界方程为0=a,0=B, r=r1(,r=() 此区域D必须满足:过原点任意 条射线O=常数去穿区域D,与D的边界曲线之交点 不多于两个即一进一出.且有

3 2 2 ( ), ( ), ( ) y x f x y f f x y  算二重积分. 极坐标系中的二重积分的计算也要化为 等)时,我们通常采用极坐标来计 二次积分来计算. 此区域D必须满足:过原点任意 注4 设积分区域为 1 2 ( ) ( ) : r r r D             显然D的边界方程为θ =α,θ =β, 2 r  r ( ) 1 r  r ( ), r D α β 2 r  r () 1 r  r() θ=α O θ=β 一条射线θ =常数 去穿区域D,与D的边界曲线之交点 不多于两个,即 一进一出.且有

2(6) f(rcosO, rsin O)drdo=de f(rcos 0, rsin O)rdr n1(6) 有两种特殊情形需注意 )极点o在区域D的边界上,此时r(O)=0 6=B 而积分区域D为如图所示的曲边扇形, 可用不等式表示为 r=r(6) 0≤r≤r2(6) D a≤6≤B 且有 r(6) f(rcos O, rsin O)rdrde= de f(rcos O, rsin O)rdr

4 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr               而积分区域D为如图所示的曲边扇形, 有两种特殊情形需注意： (1) 极点o在区域D的边界上,此时 1r()  0, r D α β r  r() θ=β θ=α O 可用不等式表示为 2 0 ( ) : r r D            且有 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r D f r r rdrd d f r r rdr             

(2)极点0在区域D的内部(如图),此时积分区域D可用 不等式表示为D 0≤r≤2() 0≤6≤2丌 =r(O) 且有 (6) f(rcosO, rsin)rdrde= do f(rcosO, rsin O)rdr 0 例4计算=eyd其中D为圆域x2+y2sl 0≤r≤1 解在极坐标系下,D 0≤6≤2丌

5 (2) 极点o在区域D的内部(如图),此时积分区域D可用 r D θ r  r() O 2 0 ( ) : 0 2 r r D           且有 2 ( ) 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r D f r r rdrd d f r r rdr             不等式表示为 2 2 2 2 14 , : 1. x y D I e dxdy D x y      例 计算  其中 为圆域 r D θ r 1 O 0 1 , : 0 2 r D          解 在极坐标系下