第九章二重积分 第六章学习的定积分是一元函数y=f(x)在闭区间[a,6 上的积分;下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的 积分,即二重积分 本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念, 推导它的计算公式,研究它的计算方法 在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积 已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的 体积问题却仍不会处理
1 第六章学习的定积分是一元函数y=ƒ(x)在闭区间[a,b] 本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念， 已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的 第九章 二重积分 上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的 积分，即二重积分. 推导它的计算公式，研究它的计算方法. 在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积 体积问题却仍不会处理
第九章二重积分 §9.1二重积分的概念 §9.2在直角坐标系下二重积分的计算 §9.3二重积分的换元法 §9.4在极坐标系下二重积分的计算 §9.5无界区域上的二重积分
2 第九章 二重积分 §9.1 二重积分的概念 §9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 §9.3 二重积分的换元法 §9.4 在极坐标系下二重积分的计算 §9.5 无界区域上的二重积分 ( , ) ? D f x y dxdy
定义1设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成;其 中底是x平面上的一个有界闭区域D,侧面是以D的边界 曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面,顶是一曲面,其 方程为z=f(xy)(xy)∈D,连续且f(xy)≥0 则称此立体为曲顶柱体 f(x,y) 分析: 因平顶柱体体积为“底面积×高” 但对于曲顶柱体因其高f(xy)是 个变量,其体积就不能用 “底面积X高” 来定义和计算了;
3 中底是xy平面上的一个有界闭区域D, z y O x D C z=ƒ(x,y) (x,y) 分析： 定义1 设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其 方程为z=ƒ(x,y) (x,y)∈D, 连续且ƒ(x,y) ≥0. 侧面是以D的边界 曲线C为准线、 母线平行于z轴的柱面, 顶是一曲面，其 则称此立体为曲顶柱体. 但对于曲顶柱体因其高ƒ(x,y) 是 因平顶柱体体积为“底面积×高” 来定义和计算了； 个变量，其体积就不能用 “底面积×高
∠但由f(xy)的连续性知 从整个定义域来看“高是变化的”; 但从某点的某个充分小邻域局部范 围内来看△>0,即高可“看成” 不变; 此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶 柱体之体积; 故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的 体积之和
4 但从某点的某个充分小邻域局部范 z y O x D C z=ƒ(x,y) (x,y) 但由ƒ(x,y)的连续性知： 从整个定义域来看“高是变化的” ； 围内来看∆z→0，即高可“看成” 不变； 体积之和. 此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶 柱体之体积； 故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的
下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来 求曲顶柱体体积: 1分割 用一组曲线网任意地将区域D分成n个小区域(如图) △o12△O2,…△On 并以△σ,表示第i个小区域的面积;
5 下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来 1 2 , , n i 求曲顶柱体体积： 1.分割 用一组曲线网任意地将区域D分成n个小区域(如图) 并以 表示第i个小区域的面积 ； x y O i