第十章微分方程 §10.1微分方程的基本概念 §10.2一阶微分方程 §10.3高阶傲分方程 §10.4微分方程的应用
1 第十章 微分方程 §10.1 微分方程的基本概念 §10.2 一阶微分方程 §10.3 高阶微分方程 §10.4 微分方程的应用 ( ) ( ) dy f x g y dx =
第十章微分方程 微积分研究的主要对象是函数.因此,如何寻找函数 关系,这在实践中具有十分重要的意义 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中,反映变量之间内在联系的函数关系,往往都不能直接 得到而必须通过建立实际问题的数学模型—微分方程, 并求解这个微分方程才能得到 什么是微分方程呢?下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念
2 第十章 微分方程 微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数 关系, 这在实践中具有十分重要的意义. 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领 域中, 反映变量之间内在联系的函数关系, 往往都不能直接 得到,而必须通过建立实际问题的数学模型—— 微分方程, 并求解这个微分方程才能得到. 什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分 方程的概念
§101微分方程的基本概念 例1求过点(1,3)且斜率为2x的曲线方程 解设所求曲线的方程为y=y(x) 则由题意可知,方程应满足 d d y(1)=3 (2) 将方程(1两端积分,得y=2xx=x2+c(3) 再将(2)式代入(3)式,得c=2 又将c=2代入(3)式,即得所求曲线方程为y=x2+2
3 §10.1 微分方程的基本概念 例1 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程. 解 设所求曲线的方程为 y = y (x) 再将(2)式代入(3) 式，得 c = 2 又将c = 2代入(3) 式，即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2 则由题意可知，方程应满足 2 (1) (1) 3 (2) dy x dx y = = 2 y xdx x c = = + 2 (3) 将方程 (1)两端积分,得
例2某种商品的需求量Q对价格P的弹性为-1.5.已 知该商品的最大需求量(即p=0时的需求量)为80,求需 量Q与价格p的函数关系 解设所求的函数关系为Q=Q(p) p do 则由题意可知,它应满足{Q 15p(1 Q(0)=800 将(1)式整理积分,得Q=ce15(3) 再将(2)式代入(3)式,得c=800 又将c=800代入(3)式,即得所求函数关系为 Q=800-15
4 例2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为-1.5p. 已 知该商品的最大需求量(即 p = 0 时的需求量) 为800，求需 求量 Q 与价格 p 的函数关系. 解 设所求的函数关系为Q = Q (p) 再将(2)式代入(3) 式，得 c = 800 又将c = 800代入(3) 式，即得所求函数关系为 1.5 800 Q e− p = 则由题意可知，它应满足 1.5 (1) (0) 800 (2) p dQ p Q dp Q = − = 1.5 (3) 将 Q ce = − p (1)式整理积分，得
上述两个例子,有一个共同特点 它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数 导数的方程的求解问题.数学上,人们把这种方程称为 微分方程 一.微分方程及其阶的定义 定义10.1含有未知函数的导数(或偏导数)的方程,称为 微分方程.当未知函数是一元函数时,称为常微分方程;当未 知函数是多元函数时,称为偏微分方程微分方程有时也简称 方程 例如,方程 D,J+x2v=sinx,y+2y'-3y=U, 4+2x=0等都是常微分方程
5 上述两个例子, 有一个共同特点： 定义10.1 含有未知函数的导数(或偏导数)的方程, 称为 微分方程. 当未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当未 知函数是多元函数时, 称为偏微分方程. 微分方程有时也简称 方程. 一. 微分方程及其阶的定义 它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数 导数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为 微分方程. 例如, 方程 , 2 ' sin , " 2 ' 3 0, dy x y x y x y y y dx y = − + = + − = 等都是常微分方程. (4) y x + = 2 0