教学目的本节讨论关于积分号下取极限的性质即取极限和求积分交 换顺序的定理.内容包括三个重要的定理以及一些推论. 本节要点积分的极限定理有三个重要定理即单调收敛定理, Fatou引 理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况学习本节的内容应注意分 清各个定理的条件和结论

教学目的本节介绍积分的一些基本性质,包括积分的线性性质,积分的 不等式性质和积分的绝对连续性等.这些性质都没有涉及到积分号下取极限 的问题,积分取极限的性质讲在下一节介绍 本节要点一般测度空间上的积分除了具有一些与经典积分类似的性质 外还具有一些新的性质应注意比较学习本节的内容,除了应了解积分的基 本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧 本节所有的讨论都是给定的测度空间(X,,μ)进行的

在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann积分.在处理连续函数或者逐段连续函数 时,在计算一些几何和物理的量时它是很有用的但它也存在一些缺陷例如, Riemann积 分对被积函数的要求较高,它要求被积函数“基本上”是连续的(其确切含义将在§4.4 讨论),在处理极限与积分交换次序时,需要对函数列加上一致收敛性的条件等由于这些 缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数学中的一些问题时显得不够有力因此需要建立 新的积分的理论.二十世纪初, Lebesgue建立了一种新的积分理论新的积分理论消除了 上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理论

教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿 -莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.若对任意>0,存在δ>0,使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{(a1,b2)}1,当乙(-a1)<时,成立

在数学分析课程中我们知道,微分与积分具有密切的联系.一方面,若f(x)在 【a,b]上连续,则对任意x∈[a,b]成立f(d=f(x)另一方面,若f(x)在[a,b] 上可微,并且f(x)在[a,b]是 Riemann可积的,则成立牛顿莱布尼兹公式 f'(x)dx f(b)-f(a)

教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理一 Fubini定理。 本节要点乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理 Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积

教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理。 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法

教学目的本节介绍有界变差函数的性质证明有界变差函数的 Jordan分解定理。 教学要点有界变差函数的概念,变差函数的性质, Jordan分解定理

本课程是为数学系本科高年级学生开设的.本课程讲述一般空间上的测度论的基础 知识和欧氏空间R上的 Lebesgue测度与积分理论. 现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般空 间上的测度理论.对数学专业的学生而言,掌握一般空间上的测度论的基础知识,已经 变得越来越重要.因此本课程将一般空间上的测度论和R上的Lebesgue积分结合起来 讲述,交叉进行一般是每章先介绍一般空间上的概念与定理,然后将R上的Lebesgue 测度与积分作为特例,加以重点介绍.这样,既学习了 Lebesgue测度与积分理论,也学 习了抽象空间上的测度论

第一章排列與組合 1.(a)應用關係式C(n,r)C(n-1,r)+(n-1,-1)明 等式C(n+1,m)=C(n,m)+(n-1,m-1)+c(n-2, m-2)+…+(n-m,0),其中m≤n )以租合式討論證明此等式