第七讲 常系数非齐次线性微分方程
第七讲 常系数非齐次线性微分方程
>思路 二阶常系数线性非齐次微分方程： y"+py'+qy=f(x) (p,q为常数) 通解：y=Y+y— 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 >关键求出非齐次方程的特解 >方法待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : y = Y + y * 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 ➢思路 通解: ➢关键 求出非齐次方程的特解 ➢方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式
常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPnm(x)型 二、f(x)=e2[P(x)coso,x+P(x)sin@x型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型
常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=exPm(x)型 二、f(x)=e2IP(x)coso,x+P.(x)sin@x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型
f(x)=e2Pn(x)入为实数，Pm(x为m次多项式 入=0→f(x)=Pm(x) 多项式函数 m=0→f(x)=Ae2 :指数函数 其它→f(x)=exPm(x)片 指数函数与多项式函数乘积 >特解形式 入不是特征方程的根—→=0 y"=xC(x)ex 入是特征方程的单根→一1 (入是特征方程的重根一→-2 >解题步骤 设特解 写出f),明确入和m 写出特征方程，确定人 求特解代入方程，比较系数 列出等式，求出系数
为实数 , P (x) ( ) e ( ) m 为 m 次多项式 . x m f x P x = =0 ( ) ( ) m f x P x = 多项式函数 m =0 ( ) e x f x A = 指数函数 其它 ( ) e ( ) x 指数函数与多项式函数乘积 m f x P x = ➢特解形式 ( )e k x m y x Q x = 不是特征方程的根 k=0 是特征方程的单根 k=1 是特征方程的重根 k=2 ➢解题步骤 写出f(x)，明确和m 写出特征方程，确定k 设特解 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数