中山大学：《数学分析》第十七章 隐函数存在定理

第十七章隐函数存在定理 例1设x2=v,y2=l,z2=m及f(x,y,z)=F(u,v,w),证明 xf +y +if=uF,+vF+wF x=x(u, v, w) 证方程组{y2=确定了函数组{y=y(uv,w),先求这个函数组对各变元的偏导 z=二(l2v,w) 数,为此,对方程组求微分得 2xdx= wdy+vdl 2y=wd+h,即=-d 2 2 2ed=vdu+udv dz 2x2 将函数组代入方程f(x,y,z)=F(u,v,w),得关于变元,v,w的方程 f(x(u,v,w),y(u,v,w)=(u,v,w))=F(u, v, w) 在这方程两边分别对u,v,w求偏导,得 f 3+f ay aaa Jx+J,+厂=F az F 将上面三式分别乘以u,v,w后再相加,得 J,+y++2+n+f uF +vF+wF X=v) =ln,x2=l代入即得 x+yf,+/:=uE+vF+F

1 第十七章 隐函数存在定理 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组      = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组      = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各变元的偏导 数，为此，对方程组求微分得      = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即          = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故                                     w z v z u z w y v y u y w x v x u x                   = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f =   +   +   x y z Fv v z f v y f v x f =   +   +   x y z Fw w z f w y f w x f =   +   +   将上面三式分别乘以 u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 代入即得 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF +

例2若==f(xy)有连续二阶偏导数,满足方程2=02=_,a2z =(-)2,证明:若把 =f(x,y)中y看成x,=的函数,则它满足同样形状的方程2x2=( ax2 a-2 axa 证由=f(x,y)确定y是x,的函数,则有z=f(x,y(x,=),方程两边分别对x,二求偏 0 ay ax af ay (2) (1)式再分别对x,z求偏导,得 0 2c+9y2+9 (3) ax ay f ay af ay ay af ay axdy a: ay ax a= ay= (4) (2)式再对二求偏导,得 0=2(9y2+ ay 由(3)(5)式 a2f a fe) ay of axoy ax ay2 ax Oy ax af ayra a-f ay a-fay2 af a ax ay yy(yy3+gayn2可+② oxo o ()2[2 ](由(5)式) ax az ay ayaya 2 af Oyoy af ay a-f ayay ax- a- ay ay- ax az andy az ay- ax a 由(4)式 f ay af ay ay af ay ax az ay axa 29 f ay ayof ay Oy ax ay ax az ay ax az ay axd=

2 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏 导，得 x y y f x f     +   0 = （1） z y y f     1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f     +     +      +   = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       +      = 2 2 2 2 0 （4） (2)式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f     +     = （5） 由（3）（5）式 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f       [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f     +     +          = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          +       = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          −       = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       =      x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f            +       +      = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2

=(90y)2+999+2y0 dy axa 因为 andy r129+9/c ax2 a22 ay ay2 Ox az axay az ay ax az af ay2 af ay ay, a f ay ay af ay ay axa ay ax a ay ax az ay axe 结合(4)式得 ayaya r af ay 2. af ay ayr af ay af oy ay. af ay ay ax az axoy az ay af a )2 ay oxa 2-2) l=f(x,y,,1) 例3设{8(,=,1)=0,问什么条件下是xy的函数啊?求anan h(=,D)=0 解当g,h对各变元有连续的偏导数,且2≠0时,方程组8(y,)=0 h(==0可确定函 数组 =(y),代入l=f(x,y,=,D)即得u是x,y的函数u=f(x,y,(y)1(y)。 =1(y) f(x,y,,t 对方程组{g(y=,1)=0求微分,得 h(=,D)=0 f dx+f dy+f d=+f, dt 8 dy+gd=+g, dt=0 hd=+hdt=0 记J=叫(8b) 若J≠0,由(2)(3)式 a(=,) gg-g,h中 J0 h

3 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y       ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f      +       +            +      = 2 2 ( ) x z y y f      = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 例 3 设      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ，问什么条件下 u 是 x, y 的函数啊？求 y u x u     , 。 解 当 g,h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , )    z t g h 时，方程组    = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t 可确定函 数组    = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) 。 对方程组      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得      + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J   = ，若 J  0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1

dt 18: -g,dy g,hdy 代入(1)得 dh=f+J,+-8,h,小,,8hd =fdt+[,+g, J=/+r+8a(h, fh.-fh jdy f gy a(h,f) J(=,D) 注利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数,会使计算简单一些

4 J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [   = + + 故 x f x u =   ， y u   ( , ) ( , ) z t h f J g f y y   = + 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些