如果>s,则方程组 (Kx=0) 有非零解，从而方程组 (a1,a2,·,as)Kx=0 有非零解，即 (b1,b22,b,x=0 有非零解，这与B,组线性无关矛盾，因此r>s不能成立，故 r≤S
如果r>s,则方程组 Ks×r 1 r x x = 0 ( Kx = 0 ) 有非零解，从而方程组 (α1，α2，… ，αs )Kx = 0 有非零解，即 (b1 ,b2 ,…,br )x = 0 有非零解，这与B0组线性无关矛盾，因此r>s 不能成立 ,故 r ≤ s
推论1等价的向量组的秩相等。 证设向量组A与向量组B的秩分别为s和r,因两个 向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故s≤与 r≤s同时成立，所以s=r。 推论2设Cmx=Amx,B,xn'则R(C)≤mn{RR(B)} 证将矩阵C和A用其列向量表示为 C=（C1,C2,,Cn),A=(41,2,,4),B=(b） 由 (CC2,…,Cm)=(41,423,a)
推论1 等价的向量组的秩相等。 证 设向量组A与向量组B的秩分别为 s 和 r，因两个 向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 s ≤ r与 r ≤ s 同时成立，所以s = r。 推论2 设Cm×n= Am×s Bs×n，则 证 将矩阵C 和 A用其列向量表示为 C = ( c1 ,c2 ,…,cn ) , A = ( a1 ,a2 ,…,as ) , B = ( bij ) , 由 1, 2 1 2 ( , , ) ( , , , ) c c c a a a n s = 11 1 1 , n s sn b b b b R C R A R B ( ) ( ), ( ) . min