【课题】第二节两条直线平行与垂直的判定 【教学目标】 1.知识与技能:掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件;能用解析法解决平 面几何问题 2.情感、态度、价值观: (1)通过创设的问题情境,引导学生探究平面内两条直线的平行或垂直关系的充要条 件激发学生学习数学的兴趣 (2)通过数学探究活动,使学生能用联系的观点看问题,掌握代数化处理几何问题的 方法及数学地思考问题的方法,体会唯物辩证法在数学中的体现 3.过程与方法:在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上,本节将从新的角度来 研究平面内两条直线的平行或垂直关系,理解数形结合的数学思想。 【教学重点难点】 1.教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件,并会判断两条直线是否平行、垂 直 2.教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论(公式适用的前提条件) 【教法学法】讲解、练习、演示、探究 【教学准备】计算机、投影仪、三角板 【教学安排】2课时 【教学过程】 一、复习引入: 上课前我们先来看这样一个故事:魔术师的地毯 位魔术师拿了一块边长为1.3米的地毯去找地毯匠,要求把这块正方形的 地毯改制成宽0.8米,长2.1米的矩形.地毯匠对魔术师说:“难道你连小学算术 都没学过吗?边长为1.3米的正方形的面积是1.69平方米,而宽0.8米、长2.1 米的矩形面积只有1.68平方米。两者并不相等呀!”而魔术师只给了地毯匠一幅 图,让他照着做就是了。地毯匠照做了,缝好一量,果真可以,魔术师得意洋洋 地取走了地毯,可地毯匠却很纳闷,百思不得其解,那0.01平方米的地毯去哪 了?你能帮他解开疑团吗? 现在大家可能不知道从何下手,那我们就带着这个问题来学习这节课的内容
【课题】第二节 两条直线平行与垂直的判定 【教学目标】 1．知识与技能: 掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件；能用解析法解决平 面几何问题。 2．情感、态度、价值观： （1）通过创设的问题情境，引导学生探究平面内两条直线的平行或垂直关系的充要条 件激发学生学习数学的兴趣 （2）通过数学探究活动，使学生能用联系的观点看问题，掌握代数化处理几何问题的 方法及数学地思考问题的方法，体会唯物辩证法在数学中的体现。 3．过程与方法: 在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上，本节将从新的角度来 研究平面内两条直线的平行或垂直关系，理解数形结合的数学思想。 【教学重点难点】 1．教学重点：掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂 直 2．教学难点：是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件） 【教法学法】讲解、练习、演示、探究 【教学准备】计算机、投影仪、三角板． 【教学安排】2 课时 【教学过程】 一、复习引入： 上课前我们先来看这样一个故事：魔术师的地毯 一位魔术师拿了一块边长为 1.3 米的地毯去找地毯匠,要求把这块正方形的 地毯改制成宽 0.8 米,长 2.1 米的矩形.地毯匠对魔术师说:“难道你连小学算术 都没学过吗？边长为 1.3 米的正方形的面积是 1.69 平方米，而宽 0.8 米、长 2.1 米的矩形面积只有 1.68 平方米。两者并不相等呀！”而魔术师只给了地毯匠一幅 图，让他照着做就是了。地毯匠照做了，缝好一量，果真可以，魔术师得意洋洋 地取走了地毯，可地毯匠却很纳闷，百思不得其解，那 0.01 平方米的地毯去哪 了？你能帮他解开疑团吗？ 现在大家可能不知道从何下手,那我们就带着这个问题来学习这节课的内容
看看能否利用我们下面学习的知识来解决这个问题 引入课题:两条直线的平行与垂直的判定 讲授新课: 师:上节课我们学习了斜率,谁能告诉我斜率是什么? 生:斜率是一条直线倾斜角的正切值 师:那什么是倾斜角? 生:倾斜角是一条直线向上的部分与x轴正半轴所夹的角. 师:两条直线的平行与垂直与这两条直线的倾斜角与斜率有什么关系呢?下 面我们就一起来实验探究这个问题.大家打开几何画板,完成实验报告. 给学生10分钟时间完成实验报告 师:下面我们请两位同学来汇报一下你的实验结果 学生1:实验1,我实验探究的结果是当两条直线互相平行时,他们的斜率是 相等的,当两条直线的斜率相等的时候,这两条直线是平行的. 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线都与y轴平行时,这两条 直线的斜率也相等吗?让大家再动手操作一下 老师再问,若两条直线的斜率相等,这两条直线除了平行还有没有其它的位 置关系 重合.因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线都有斜率而且不重合 如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平 行,即112k1=k2 学生2:实验2,我实验探究的结果是当两条直线互相垂直时,他们的斜率的 乘积都等于-1,当两条直线的斜率乘积等于-1的时候,这两条直线是互相垂直 的 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线有一条与y轴平行时,上 面的结论还成立吗?让大家再动手操作一下 因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那 么它们的斜率互为负倒数(即乘积为-1);反之,如果它们的斜率互为负倒数,那 么它们互相垂直,即 112分k1=k分kk2=1
看看能否利用我们下面学习的知识来解决这个问题. 引入课题: 两条直线的平行与垂直的判定 二、 讲授新课： 师:上节课我们学习了斜率,谁能告诉我斜率是什么? 生:斜率是一条直线倾斜角的正切值. 师:那什么是倾斜角? 生:倾斜角是一条直线向上的部分与 x 轴正半轴所夹的角. 师:两条直线的平行与垂直与这两条直线的倾斜角与斜率有什么关系呢?下 面我们就一起来实验探究这个问题.大家打开几何画板,完成实验报告. 给学生 10 分钟时间完成实验报告 师:下面我们请两位同学来汇报一下你的实验结果 学生 1:实验 1,我实验探究的结果是当两条直线互相平行时, 他们的斜率是 相等的,当两条直线的斜率相等的时候,这两条直线是平行的. 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线都与 y 轴平行时,这两条 直线的斜率也相等吗?让大家再动手操作一下. 老师再问,若两条直线的斜率相等,这两条直线除了平行还有没有其它的位 置关系? 重合.因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线 ．．．．都．有斜率 ．．．而．且不重合 ．．．．， 如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平 行，即 学生 2:实验 2,我实验探究的结果是当两条直线互相垂直时,他们的斜率的 乘积都等于-1,当两条直线的斜率乘积等于-1 的时候,这两条直线是互相垂直 的. 有没有同学补充?若没有,老师提问:当这两条直线有一条与 y 轴平行时,上 面的结论还成立吗?让大家再动手操作一下. 因此,我们实验一的最终结论应该是:两条直线都有斜率 ．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那 么它们的斜率互为负倒数(即乘积为-1)；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那 么它们互相垂直，即
师:上面是我们利用几何画板实验探究的结果,还没有经过理论验证.大家能 否利用所学的知识证明这两个结论呢?首先我们先证明结论一 已知Ll∥L2(图1-29),它们的斜率分别为k1,k2,求证它们的斜率相等. 证明:因为L∥L2,所以a1=a2 ga l=tg a 2. 即kl=k2 图1-29 反过来,已知k1=k2,k1,k2分别为不重合的直线L1,L 的斜率,求证:LL∥L2 证明:因为k1=k2,所以tga1=tga2 由于0°≤a1<180° 0°≤a<180 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2 结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等 反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即112k1=k2 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少 这个前提,结论并不成立 下面我们一起来证明两条直线垂直的情形 如果L1⊥L2,这时a1≠a2,否则两直线平行,设a2<a1(图1-30),甲 图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下 方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有 a1=90°+a2.因为L1、L2的斜率分别是k1、k2,即a1≠90°,所以a2≠0。 tana1=tan(90°+a2) 反过来,如果即pk1k2=1不失一般性.设<0 k2>0,那么
师:上面是我们利用几何画板实验探究的结果,还没有经过理论验证.大家能 否利用所学的知识证明这两个结论呢?首先我们先证明结论一. 已知 L1∥L2(图 1-29)，它们的斜率分别为 k1,k2,求证它们的斜率相等. 证明:因为 L1∥L2,所以α1=α2． ∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2． 反过来，已知 k1=k2，k1,k2 分别为不重合的直线 L1,L2 的斜率,求证:L1∥L2 证明:因为 k1=k2,所以 tgα1=tgα2 由于 0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2． 又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 ．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少 这个前提，结论并不成立． 下面我们一起来证明两条直线垂直的情形． 如果 L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设 α2＜α1(图 1-30)，甲 图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下 方；丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2．因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0。 1 2 2 1 tan tan(90 ) tan = + = −
a2(0°+a2) 可以推出 1=90°+a2 Ll⊥L2 结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数 反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 k,分kk2 11 图1-30 注意:结论成立的条件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则 不一定 应用讲例 例1已知A(2,-1),B(5,-1),P(4,2),Q(2,2),(1)试判断直线BA与PQ的 位置关系AB与AQ的位置关系,并证明你的结论.(2)试判断四边形ABPQ 的形状,并给出证明。 例2已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),试判断三角形ABC的形状 例3判断A(1,3),B(5,7),C(10,12)三点是否共线,并说明理由。 例4、试确定m的值,使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直 线 (1)平行(2)垂直 四、解答故事“魔术师的地毯”的问题 三、内容、方法小结: 本节介绍了直线平行和垂直的判定条件,特别要注意特殊情况的处理。用问 题串引导学生思考推理出结论,培养了学生的探究能力。 四、课后作业 P249练习9.112,3,4 五、板书设计:
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率 ．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数； 反 之 ， 如 果 它 们 的 斜 率 互 为 负 倒 数 ， 那 么 它 们 互 相 垂 直 ， 即 注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则 不一定. 应用讲例 例1 已知 A(2,-1), B(5，-1), P(4,2), Q(2,2), （1）试判断直线 BA 与 PQ 的 位置关系 AB 与 AQ 的位置关系, 并证明你的结论.（2）试判断四边形 ABPQ 的形状，并给出证明。 例2 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 例3 判断 A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线，并说明理由。 例 4、试确定 m 的值,使过点 A(m,1),B(-1,m)的直线与过点 P(1,2),Q(-5,0)的直 线 (1)平行 (2)垂直 四、解答故事“魔术师的地毯”的问题 三、内容、方法小结： 本节介绍了直线平行和垂直的判定条件，特别要注意特殊情况的处理。用问 题串引导学生思考推理出结论，培养了学生的探究能力。 四、课后作业 P249 练习 9.11 2,3,4 五、板书设计：
2.两条直线平行与垂直的判定 平行的判定条件 例1 1)K存在时 2)K不存在时 例2 垂直的判定条件 1)K存在时 例3 2)K不存在时 六、教学反思:
2. 两条直线平行与垂直的判定 平行的判定条件 例 1 1） K 存在时 2） K 不存在时 例 2 垂直的判定条件 1） K 存在时 例 3 2）K 不存在时 六、教学反思：