直线与方程知识点与经典例题 、知识点 (1)直线的倾斜角 定义:ⅹ轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时我们 规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° 性质:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y轴平行或者重合.当a=0°时,斜率k=0;当0°<a<90 时,斜率k>0,随着α的增大,斜率k也增大;当90°<α<180°时,斜率k<0,随着α的增大,斜率k 也增大 (2)直线的斜率 定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度 当a∈p,90)时,k≥0:当a∈(o180)时,k<0:当a=90°时,k不存。 ②过两点的直线的斜率公式:k=y-H(x1≠x2) 注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90° (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 (3)直线方程 ①点斜式:y-y1=k(x-x1)直线斜率k,且过点(x1,y) 注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y 当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因/上每一点的横坐 标都等于X1,所以它的方程是x=x1 ②斜截式:y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b 两点式:M=(x≠x2,≠y2)直线两点(x,y),(x2y2) y2-VI 52-x ④截矩式 y 其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。 ⑤一般式:Ax+By+C=0(A,B不全为0) 注意:①各式的适用范围②特殊的方程如: 平行于x轴的直线:y=b(b为常数);平行于y轴的直线:x=a(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线Ax+B0y+C0=0(A,B0是不全为0的常数)的直线系:A4x+By+C=0(C 为常数) (二)垂直直线系 垂直于已知直线A4x+By+C0=0(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:B0x-A4y+C=0(C 为常数) (三)过定点的直线系 (i)斜率为k的直线系:y-y0=k(x-x0),直线过定点(xy) (i)过两条直线l1:A1x+By+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 (4x+By+C)+(41x+By+C2)=0(为参数),其中直线l2不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时, h1∥2→k1=k2,b1≠b2;⊥l2分kk2=-1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否
1 直线与方程知识点与经典例题 一、知识点 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们 规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180° 性质：直线的倾斜角 α=90°时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当 α=0°时，斜率 k=0；当 0 90 时，斜率 k 0 ，随着 α 的增大，斜率 k 也增大；当 90 180 时，斜率 k 0 ，随着 α 的增大，斜率 k 也增大. （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ) 0 ,90 时， k 0 ； 当 ( ) 90 ,180 时， k 0 ； 当 = 90 时， k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 注意下面四点：(1)当 1 2 x = x 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 ①点斜式： ( ) 1 1 y − y = k x − x 直线斜率 k，且过点 ( ) 1 1 x , y 注意：当直线的斜率为 0°时，k=0，直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l 上每一点的横坐 标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式： y = kx + b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − （ 1 2 1 2 x x y y , ）直线两点 ( ) 1 1 x , y ，( ) 2 2 x , y ④截矩式： 1 x y a b + = 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( ,0) a ,与 y 轴交于点 (0, ) b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 ab, 。 ⑤一般式： Ax + By +C = 0 （A，B 不全为 0） 注意：○1 各式的适用范围 ○2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线： y = b （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： x = a （a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ 0 0 A ,B 是不全为 0 的常数）的直线系： A0 x + B0 y + C = 0 （C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 （ 0 0 A ,B 是不全为 0 的常数）的直线系： B0 x − A0 y + C = 0 （C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为 k 的直线系： ( ) 0 0 y − y = k x − x ，直线过定点 ( ) 0 0 x , y ； （ⅱ）过两条直线 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0，l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1 x + B1 y +C1 )+(A2 x + B2 y +C2 ) = 0 （ 为参数），其中直线 2 l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当 1 1 1 l : y = k x +b ， 2 2 2 l : y = k x + b 时， 1 2 1 2 1 2 l // l k = k ,b b ； l 1 ⊥ l 2 k1 k2 = −1 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否
(7)两条直线的交点 l1:A1x+By+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0相交 交点坐标即方程组4x+By+C1=0的一组解 Ax+B,y+C2=0 方程组无解◇→l1∥2 方程组有无数解台l1与l2重合 (8)两点间距离公式:设A(x1,y),B(x2y2)是平面直角坐标系中的两个点, (9)点到直线距离公式:一点P(xn,y)到直线4:Ax+B+C=0的距离a=+Bo+ (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解 填空或选择可以用:1:Ax+By+C1=012:Ax+B+C2=0d=k- 经典例题 【例1】(1)已知A(3,2),B(4,1)C0,1),求直线AB,BCCA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角 (2)已知三点A(a,2),B(3,7),C-2,9a)在一条直线上,求实数a的值 【例2】已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(1,2)的直线l与线段AB始终有公共点,求直线l的斜率k的 取值范围. 【例3】(1)已知直线L经过点M(3,0,N(15,6),L经过点R(2,3),S(0,5),试判断与 l2是否平行? (2)l1的倾斜角为45°,l2经过点P(2,-1),Q(3,6),问4与l2是否垂直?
2 （7）两条直线的交点 l 1 : A1 x + B1 y +C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y +C2 = 0 相交 交点坐标即方程组 + + = + + = 0 0 2 2 2 1 1 1 A x B y C A x B y C 的一组解。 方程组无解 1 2 l // l ； 方程组有无数解 1 l 与 2 l 重合 （8）两点间距离公式：设 1 1 2 2 A x y B x y ( , ) , ，（ ） 是平面直角坐标系中的两个点， 则 2 2 2 1 2 1 | | ( ) ( ) AB x x y y = − + − （9）点到直线距离公式：一点 ( ) 0 0 P x , y 到直线 l 1 : Ax + By +C = 0 的距离 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = （10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 填空或选择可以用：l 1 : Ax + By +C1 = 0 l 2 : Ax + By +C2 = 0 2 2 1 2 A B C C d + − = 二、经典例题 【例 1】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值． 【例 2】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的 取值范围. 【例 3】（1）已知直线 1 l 经过点 M（-3，0），N（-15，-6）， 2 l 经过点 R（-2， 3 2 ），S（0， 5 2 ），试判断 1 l 与 2 l 是否平行？ （2） 1 l 的倾斜角为 45°， 2 l 经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问 1 l 与 2 l 是否垂直？
【例4】已知直线l经过点P(-5,4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线的方程 【例5】经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程 【例6】写出过两点A(5,0),B(0-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程. 【例7】己知直线|的方程为3x+4y-12=0,求与直线平行且过点(-1,3)的直线的方程 【例8】已知a为实数,两直线1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证:交点不可能 在第一象限及x轴上
3 【例 4】已知直线 l 经过点 P( 5, 4) − − ，且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程． 【例 5】经过点 A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxck t@126.com wxck t@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 【例 6】写出过两点 A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程． 【例 7】已知直线 l 的方程为 3x+4y－12=0，求与直线 l 平行且过点（－1，3）的直线的方程． 【例 8】 已知 a 为实数，两直线 1 l ：ax + y +1 = 0， 2 l ： x + y − a = 0 相交于一点，求证：交点不可能 在第一象限及 x 轴上
【例9】若直线h:y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求直线|的斜率的取值范围 【例10】直线2x-y-4=0上有一点P,求它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值. 【例1】已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为√,求a的值: 【例12】求与直线l1:2x+3y-1=0及2:4x+6y-5=0都平行且到它们的距离都相等的直线方程
4 【例 9】若直线 l：y＝kx − 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，求直线 l 的斜率的取值范围. 【例 10】直线 2x－y－4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 【例 11】已知点 A(−2,3) 到直线 y ax = +1 的距离为 2 ，求 a 的值； 【例 12】求与直线 1 l x y : 2 3 1 0 + − = 及 2 l x y : 4 6 5 0 + − = 都平行且到它们的距离都相等的直线方程
经典例题 【例1】(1)已知A(3,2),B(4,1)C0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角 (2)已知三点A(a,2),B(3,7),C-2,9)在一条直线上,求实数a的值 解:(1)直线AB的斜率k4-3>0.,所以它的倾斜角a是锐角 直线BC的斜率k <0,所以它的倾斜角α是钝角 0+42 直线CA的斜率6=0-3=1>0,所以它的倾斜角a是锐角 7-(-9a)7+9a 3-a3-a 3-(-2)5 A、B、C三点在一条直线上 ∴kA=k。,即 7+9a 解得 【例2】已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线与线段AB始终有公共点,求直线l的斜率k的 取值范围 解:如图所示,直线PA的斜率是4=2-(-3)=5 直线PB的斜率是k=0-2=-1 3-(1)2 当直线l由mA变化到y轴平行位置PC它的倾斜角由锐角a(ana=5)增至90°,斜率的变化范围是[5,+∞); 当直线1由PC变化到PB位置,它的倾斜角由90增至B(anB=-),斜率的变化范围是(-∞- 所以斜率的变化范围是(-∞,-JU[5,+∞) 【例3】(1)已知直线经过点M(3,0),N(15,6),b经过点R(2,3,S(0,5,试判断与 l2是否平行? (2)l的倾斜角为45°,l2经过点P(2,-1),Q(3,6),问4与l2是否垂直? 解:(1)∵ks--3-(-15)2 2’50-(-2)2 =÷:∴l1 (2)∵k1=an45°=1,k2= 3-(-2) =-1,kk2=-1,∴l⊥l2 【例4】已知直线l经过点P(-5,-4),且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程 解:由已知得l与两坐标轴不垂直 ∵直线l经过点P(-5,-4),∴可设直线l的方程为y-(-4)=kx-(-5),即y+4=k(x+5) 则直线l在x轴上的截距为-5,在y轴上的截距为5k-4 根据题意得 5×5-4=5,即(k-4)=10k 2 8 当k>0时,原方程可化为(5k-4)2=10k,解得k=5=5 当k<0时,原方程可化为(5k-4)2=-10k,此方程无实数解
5 经典例题 【例 1】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点 A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值． 解：(1) 直线 AB 的斜率 1 1 2 1 4 3 7 k − = = − − >0, 所以它的倾斜角 α 是锐角; 直线 BC 的斜率 2 1 1 1 0 4 2 k − − = = − + <0, 所以它的倾斜角 α 是钝角; 直线 CA 的斜率 3 1 2 1 0 3 k − − = = − >0, 所以它的倾斜角 α 是锐角. (2) 7 2 5 3 3 AB k a a − = = − − ， 7 ( 9 ) 7 9 3 ( 2) 5 BC a a k − − + = = − − . ∵ A、B、C 三点在一条直线上， ∴ AB BC k k = ， 即 5 7 9 3 5 a a + = − ， 解得 a = 2 或 2 9 a = . 【例 2】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点，求直线 l 的斜率 k 的 取值范围. 解：如图所示, 直线 PA 的斜率是 1 2 ( 3) 5 1 ( 2) k − − = = − − − , 直线 PB 的斜率是 2 0 2 1 3 ( 1) 2 k − = = − − − . 当直线 l 由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角 (tan 5) = 增至90°，斜率的变化范围是[5, +) ； 当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置，它的倾斜角由 90°增至 1 (tan ) 2 = − ，斜率的变化范围是 1 ( , ] 2 − − . 所以斜率的变化范围是 1 ( , ] [5, ) 2 − − + . 【例 3】（1）已知直线 1 l 经过点 M（-3，0），N（-15，-6）， 2 l 经过点 R（-2， 3 2 ），S（0， 5 2 ），试判断 1 l 与 2 l 是否平行？ （2） 1 l 的倾斜角为 45°， 2 l 经过点 P（-2，-1），Q（3，-6），问 1 l 与 2 l 是否垂直？ 解：（1） ∵ MN k = 0 ( 6) 1 3 ( 15) 2 − − = − − − ， 5 3 2 2 1 0 ( 2) 2 RS k − = = − − . ∴ 1 l // 2 l ． （2） ∵ 1 k = = tan 45 1， 2 6 ( 1) 1 3 ( 2) k − − − = = − − − ， 1 2 k k = −1， ∴ 1 l ⊥ 2 l ． 【例 4】已知直线 l 经过点 P( 5, 4) − − ，且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程． 解：由已知得 l 与两坐标轴不垂直． ∵直线 l 经过点 P( 5, 4) − − ，∴ 可设直线 l 的方程为 y k x − − = − − ( 4) [ ( 5)] ，即 y k x + = + 4 ( 5) . 则直线 l 在 x 轴上的截距为 4 5 k − ，在 y 轴上的截距为 5 4 k − . 根据题意得 5 5 4 5 4 2 1 − k − = k ，即 2 (5 4) 10| | k k − = . 当 k 0 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = ，解得 1 2 2 8 , 5 5 k k = = ； 当 k 0 时，原方程可化为 2 (5 4) 10 k k − = − ，此方程无实数解