研卷知古今:藏书教子孙。 直线的交点坐标与距离公式 第1题.到两条直线3x-4y+5=0与5x-12y+13=0的距离相等的点P(x,y)必定满足方程() A 4y+4=0 B.7x+4y=0 C.x-4y+4=0或4x-8y+9=0 7x+4y=0或32x-56y+65=0 答案:D 第2题.设点P在直线x+3y=0上,且P到原点的距离与P到直线x+3y-2=0的距离相等,则点P坐 标是 答案:( 55)或(3 第3题.已知△ABC中,A(3,2),B(-15),C点在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积为10,求 出点C坐标 答案:解:由题得:8=3-(-)+(2-5y2=5 ∵S△ABC-2 ABh=10,∴h=4(h为点C到直线AB的距离) 设点C坐标为(x,),AB的方程为y-2=-3(x-3),即3x+4y-17=0 3x0-y+3=0 4 解得 =2
研卷知古今；藏书教子孙。 直线的交点坐标与距离公式 第 1 题. 到两条直线 3 4 5 0 x y − + = 与 5 12 13 0 x y − + = 的距离相等的点 P x y ( ) ， 必定满足方程（ ） Ａ． x y − + = 4 4 0 Ｂ． 7 4 0 x y + = Ｃ． x y − + = 4 4 0 或 4 8 9 0 x y − + = Ｄ． 7 4 0 x y + = 或 32 56 65 0 x y − + = 答案：Ｄ． 第 2 题. 设点 P 在直线 x y + = 3 0 上，且 P 到原点的距离与 P 到直线 x y + − = 3 2 0 的距离相等，则点 P 坐 标是 ． 答案： 3 1 ( ) 5 5 ，− 或 3 1 ( ) 5 5 − ， 第 3 题. 已知 △ABC 中， A(3 2) ， ，B( 1 5) − ， ，C 点在直线 3 3 0 x y − + = 上，若 △ABC 的面积为 10 ，求 出点 C 坐标． 答案：解：由题得： 2 2 AB = − − + − = 3 ( 1) (2 5) 5． 1 10 2 ABC ∵S AB h △ = = ，∴h = 4 （ h 为点 C 到直线 AB 的距离）． 设点 C 坐标为 0 0 ( ) x y ， ， AB 的方程为 3 2 ( 3) 4 y x − = − − ，即 3 4 17 0 x y + − = ． 由 0 0 0 0 3 3 0 3 4 17 4 5 x y x y − + = + − = ， 解得 0 0 1 2 x y = − = 或 0 0 5 3 8 x y = = ．
研卷知古今:藏书教子孙。 ∴C点坐标为(-1,0)或(=,8) 第4题.直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程 答案:解:由题,若截距为0,则设所求的直线方程为y=kx k=-12±3 若截距不为0,则设所求直线方程为x+y-a=0 4+3-d=35,:a=1a=13 ∴所求直线为y= -12±3√4 2x,x+y-1=0或x+y-13=0 第5题.用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长 答案:证明:建立如图所示坐标系, A(a,0),B(0,b),C(-a,0)(a>0,b>0) B x
研卷知古今；藏书教子孙。 ∴ C 点坐标为 ( 1 0) − ， 或 5 ( 8) 3 ， ． 第 4 题. 直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且 P(4 3) ， 到直线 l 的距离为 3 2 ，求直线 l 的方程． 答案：解：由题，若截距为 0 ，则设所求 l 的直线方程为 y kx = ． 2 4 3 3 2 1 k k − = + ∵ ， 12 3 14 2 k − = ． 若截距不为 0 ，则设所求直线方程为 x y a +−= 0． 4 3 3 2 2 + − a ∵ = ，∴a =1 或 a =13， ∴ 所求直线为 12 3 14 2 y x − = ， x y + − =1 0 或 x y + − = 13 0． 第 5 题. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长． 答案：证明：建立如图所示坐标系， A a( 0) ， ， B b (0 ) ， ，C a ( ,0) − ( 0 0) a b ， y x F C P E B O A
研卷知古今:藏书教子孙。 则直线AB方程为bx+qy-ab=0,直线BC的方程为bx-ay+ab=0 设底边AC上任意一点为P(x,0),(-a≤x≤a) 则P到AB的距离为PE= bx-ab b(a-x) a2+b2√a2+b P到BC的距离为PF= b(a+x) a2+b2√a2+b2 A到BC的距离为h= 2ab a2+b2a2+b2 Pe+ PF b(a-x) b(a+x) √a2+b2√a2+b2√a2+b2 ∴原结论成立 第6题.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是 213 3D.7 答案:D 第7题,一直线过点P(2,0),且点Q-2,5)到该直线距离等于4,求该直线倾斜角 答案:解:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为 当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在 设过P点的直线为y=k(x-2),即kx-y-2k=0 2k- √3 2 由d 4,解得k
研卷知古今；藏书教子孙。 则直线 AB 方程为 bx ay ab + − = 0 ，直线 BC 的方程为 bx ay ab − + = 0 ． 设底边 AC 上任意一点为 P x( 0) ， ，( ) −a x a ≤ ≤ ， 则 P 到 AB 的距离为 2 2 2 2 bx ab b a x ( ) PE a b a b − − = = + + ， P 到 BC 的距离为 2 2 2 2 bx ab b a x ( ) PF a b a b + + = = + + ， A 到 BC 的距离为 2 2 2 2 ba ab 2ab h a b a b + = = + + ， 2 2 2 2 2 2 b a x b a x ab ( ) ( ) 2 PE PF h a b a b a b − + + = + = = + + + ∵ ， ∴ 原结论成立． 第 6 题. 已知直线 3 2 3 0 x y + − = 和 6 1 0 x my + + = 互相平行，则它们之间的距离是（ ） Ａ． 4 Ｂ． 2 13 13 Ｃ． 5 13 26 Ｄ． 7 13 26 答案：Ｄ． 第 7 题. 一直线过点 P(2 0) ， ，且点 4 3 ( 2 ) 3 Q − ， 到该直线距离等于 4 ，求该直线倾斜角． 答案：解：当过 P 点的直线垂直于 x 轴时， Q 点到直线的距离等于 4 ，此时直线的倾斜角为 2 ， 当过 P 点的直线不垂直于 x 轴时，直线斜率存在， 设过 P 点的直线为 y k x = − ( 2) ，即 kx y k − − = 2 0 ． 由 2 4 3 2 2 3 4 1 k k d k − − − = = + ，解得 3 3 k = ．
研卷知古今:藏书教子孙。 ∴直线倾斜角为 综上,该直线的倾斜面角为工或工 第8题.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x-y+2=0,直角顶点是C(3,-2),则两条直 角边AC,BC的方程是() xt2) B.2x+y-4=0,x-2y-7=0 C·.2x-y+4=0,2x+y-7=0 D.3x-2y-2=0,2x-y+2=0 答案:B 第9题.求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂 直的直线l的方程. 答案:解法一:解方程组 -2y+4=0 的交点P(0,2) x+y-2=0 直线l的斜率为,∴直线l的斜率为 ∴直线l的方程为y x-0),即4x+3y-6=0 解法二:设所求直线/的方程为x-2y+4+A(x+y-2)=0 由该直线的斜率为-,求得A的值11,即可以得到的方程为4x+3y-6=0 第10题.入射光线线在直线1:2x-y-3=0上,经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上
研卷知古今；藏书教子孙。 ∴ 直线倾斜角为 6 ． 综上，该直线的倾斜面角为 6 或 2 ． 第 8 题. 已知等腰直角三角形 ABC 的斜边所在的直线是 3 2 0 x y −+= ，直角顶点是 C(3 2) ，− ，则两条直 角边 AC ， BC 的方程是（ ） Ａ． 3 5 0 x y − + = ， x y + − = 2 7 0 Ｂ． 2 4 0 x y + − = ， x y − − = 2 7 0 Ｃ． 2 4 0 x y −+= ， 2 7 0 x y + − = Ｄ． 3 2 2 0 x y − − = ， 2 2 0 x y −+= 答案：Ｂ． 第 9 题. 求经过两直线 1 l ： x y − + = 2 4 0 和 2 l ：x y + − = 2 0 的交点 P ，且与直线 3 l ：3 4 5 0 x y − + = 垂 直的直线 l 的方程． 答案：解法一：解方程组 2 4 0 2 0 x y x y − + = + − = 的交点 P (0，2)． ∵ 直线 3 l 的斜率为 3 4 ，∴ 直线 l 的斜率为 4 3 − ． ∴ 直线 l 的方程为 4 2 ( 0) 3 y x − = − − ，即 4 3 6 0 x y + − = ． 解法二：设所求直线 l 的方程为 x y x y − + + + − = 2 4 ( 2) 0 ． 由该直线的斜率为 4 3 − ，求得 的值 11，即可以得到 l 的方程为 4 3 6 0 x y + − = ． 第 10 题. 入射光线线在直线 1 l ：2 3 0 x y − − = 上，经过 x 轴反射到直线 2 l 上，再经过 y 轴反射到直线 3 l 上
研卷知古今:藏书教子孙。 则直线l3的方程为( x 3=0 B.2 C·2x+y-3=0 D.2x-y+6=0 第11题.直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0垂直,垂足为(1,p),则m-n+p= 第12题.试求直线l1:x-y-2=0,关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线/的方程 答案:解法一:由方程组 ∫x-y-2=0 得 3x-y+3=0 ∴直线l1、l2的交点为A( 设所求直线l的方程为y+=k(x+=),即2kx-2y+5k-9=0 由题意知:l1到l2与l2到l的角相等,则 k=-7 1+3×11+3k 即所求直线l的方程为7x+y+22=0 解法二:在l上任取点P(x1,y1)(Pgl2) 设点P关于l2的对称点为Q(x,y) 3+x-M+y+3=0(x==4x+3 则 解得 3x+4y3-9
研卷知古今；藏书教子孙。 则直线 3 l 的方程为（ ） Ａ． x y − + = 2 3 0 Ｂ． 2 3 0 x y − + = Ｃ． 2 3 0 x y + − = Ｄ． 2 6 0 x y − + = 答案：Ｂ． 第 11 题. 直线 mx y + − = 4 2 0 与 2 5 0 x y n − + = 垂直，垂足为(1，p )，则 m n p − + = ． 答案：20 第 12 题. 试求直线 1 l ： x y − − = 2 0 ，关于直线 2 l ：3 3 0 x y − + = 对称的直线 l 的方程． 答案：解法一：由方程组 2 0 3 3 0 x y x y − − = − + = 得 5 2 9 2 x y = − = − ∴ 直线 1 l 、 2 l 的交点为 A ( 5 2 − ， 9 2 − )． 设所求直线 l 的方程为 9 5 ( ) 2 2 y k x + = + ，即 2 2 5 9 0 kx y k − + − = ． 由题意知： 1 l 到 2 l 与 2 l 到 l 的角相等，则 3 1 3 1 3 1 1 3 k k − − = + + ，∴k =−7 ． 即所求直线 l 的方程为 7 22 0 x y + + = ． 解法二：在 1 l 上任取点 P ( 1 x ， 1 y )（ P l 2 ）， 设点 P 关于 2 l 的对称点为 Q ( x' ， y' )． 则 1 1 1 1 3 3 0 2 2 3 1 x x y y y y x x + + − + = + = − + ' ' ' ' 解得 1 1 4 3 9 5 3 4 9 5 x y x x y y − + − = + − = ' ' '