人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程教案(1)

第三章直线与方程 311直线的倾斜角和斜率 教学目标 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 (2)理解直线的倾斜角的唯一性 (3)理解直线的斜率的存在性 ↓)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式 情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生 观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力 (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一)直线的倾斜角的概念 我们知道,经过两点有且只有(确定)条直线.那么,经过一点P的直线1的位置能 确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线abc,…易见答案是否定的这些直线有什 么联系呢? X (1)它们都经过点P(2)它们的倾斜程度不同.怎样描述这种倾斜程度的不同? 引入直线的倾斜角的概念 当直线1与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线I向上方向之间所成的角 a叫做直线1的倾斜角特别地当直线1与x轴平行或重合时,规定a=0° 问:倾斜角a的取值范围是什么?09n<180

第三章直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角和斜率 教学目标: 知识与技能 (1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生 观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想， 培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： （一） 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什 么联系呢? P c a b Y O X (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l与 x轴相交时, 取 x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 ．．．.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α= 0°. 问: 倾斜角 α 的取值范围是什么? 0°≤α＜180°

当直线1与x轴垂直时, 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后 我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度 如图,直线a∥b∥c,那么它们 的倾斜角a相等吗?答案是肯定的所以一个倾斜角a不能确定一条直线 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:,个点P和,个倾斜角a (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角o(a+90)的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母k表示, 也就是 k= tand (1)当直线1与x轴平行或重合时,a=0°,k=tan0°=0; (2)当直线1与x轴垂直时,=90°,k不存在 由此可知,一条直线l的倾斜角a一定存在但是斜率k不一定存在 例如,=45°时,k=tan45°=1 =135时,k=tan135°=tan(180°-45°)=-tan459=-1. 学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度 (三)直线的斜率公式 给定两点P1(x12y1),P2(x2y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线PlP的斜率? 可用计算机作动画演示:直线PIP2的四种情况,并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导(略) y3 y y42 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角a=90°,直线与x轴垂 宜 (2)k与Pl、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但 分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 Y X a b c O 的倾斜角 α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角 α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．． ．P．和一个倾斜角 ．．．．．．α．. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角 α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 α= 90°, 直线与 x 轴垂 直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但 分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4)当yl=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角a=0°,直线与x轴平行或重合 (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 四)例题: 例1已知A(3,2,B(-4,1),C(0,-1求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角(用计算机作直线图略) 分析:已知两点坐标,而且x1x2,由斜率公式代入即可求得k的值;而当k=tana<0 时,倾斜角a是钝角;而当k=tan>0时,倾斜角a是锐角;而当k=tan=0时,倾 斜角a是0° 略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角a是锐角 直线BC的斜率k=0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角a是锐角 例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,1,2,及3的直线a,b,c,L 分析要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据 直线a的斜率确定;或者k=tan=1是特殊值所以也可以以原点为角的顶点x轴的正 半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可 略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(xy)根据斜率公式有1=(y-0)/(x-0所以 可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1)此时过原点和点M(1,1可作直 线 同理,可作直线b,c,L(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习:P911.2.3.4 (六)小结 (1)直线的倾斜角和斜率的概念(2)直线的斜率公式 (七)课后作业:P94习题3.11.3 (八)板书设计: §3.1 直线倾斜角的概念 3例1…… 练习1练习3 2.直线的斜率 4例2……练习2练习4 312两条直线的平行与垂直 教学目标 知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直 能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结

(4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α=0°，直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k的值; 而当 k = tanα<0 时, 倾斜角 α是钝角; 而当 k = tanα>0时, 倾斜角 α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾 斜角 α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角 α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角 α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角 α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M的坐标可以根据 直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα=1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正 半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0)所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直 线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题 3.1 1. 3. (八)板书设计: 3.1.2 两条直线的平行与垂直 教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结 §3.1.1…… 1．直线倾斜角的概念 3.例 1…… 练习 1 练习 3 2. 直线的斜率 4.例 2…… 练习 2 练习 4

合能力 (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用 难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关 系问题 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题 教学过程 )先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直 讨论:两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜 角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另 条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直 (二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直 设直线L1和L2的斜率分别为M和k2我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研 究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行不重合)的情形如果L∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相等: a1=2,(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系) tangl=tana2.即k1=k2 反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1=k2,那么tga1=tgu2 由于0°≤a1<180°,0°<a<180°,:al=a2.又两条直线不重合,∴L1∥L2 结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么它们平行,即1∥12台k1=k2 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论 并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之则不一定 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果L1⊥L2,这时a1≠2,否则两直线平行 设a2<u1(图130),甲图的特征是L与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的 交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有 因为L1、L的斜率分别是k1、k,即a1≠90°,所以a240°

合能力． (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣． 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关 系问题． 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题． 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜 角都为 90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°，另 一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研 究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果 L1∥L2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相等： α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知 α1, α2 的关系) ∴tanα1=tanα2．即 k1=k2． 反过来，如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2，那么 tgα1=tgα2． 由于 0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它 们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 ．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论 并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形． 如果 L1⊥L2，这时 α1≠α2，否则两直线平行． 设 α2＜α1(图 1-30)，甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 L1 与 L2 的 交点在 x 轴下方；丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2． 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2，即 α1≠90°，所以 α2≠0°．

即k1=-或kk2=-1.∴a 反过来,如果1=1,即3…k2=1.不失一般性,设:<0, k2>0,那么 1g01ga2=tg(90°+02) 可以推出:a1=90°+a2. LI⊥L2 结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 2112台k1=-1kk2=1 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 11 图1- 注意:结论成立的条件即如果k1k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之则不一定 (借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使L(或L2转动起来,但仍保持 L⊥L2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证转动时,可使a1为锐角钝角等) 例题 例1已知A(2,3,B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的 结论 分析:借助计算机作图,通过观察猜想BA∥PQ,再通过计算加以验证(图略) 解:直线BA的斜率k1=(3-0)(2-(4)=0,直线PQ的斜率k2=(2-1)(-1-(-3)=0.5, 因为k1=k2=0.5,所以直线BA∥PQ 例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),4,2,D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状并给出证明.(借助计算机作图,通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形 再通过计算加以验证) 解同上 例3已知A(-6,0)B(3,6,P(0,3),Q(-2,6,试判断直线AB与PQ的位置关系 解:直线AB的斜率k1=(6-0(3-(-6)=2/3,直线PQ的斜率k2=(6-3)(-20)=32, 因为klk2=-1所以AB⊥PQ 例4已知A(5,-1),B(1,1),C(23),试判断三角形ABC的形状 分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC 再通过计算加以验证(图略) 课堂练习P94练习1.2. 课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件,判定两条直线平行或垂 直(3)应用直线平行的条件,判定三点共线

， 可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率 ．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它 们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使 α1 为锐角,钝角等). 例题 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA与 PQ的位置关系, 并证明你的 结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形, 再通过计算加以验证) 解同上. 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂 直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线