第九章解析几何初步 【课题】第一节直线的倾斜角与斜率 【教学目标】 1.知识与技能 (1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念, (2)理解公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式 2.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力。 (2)帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形 成严谨的科学态度和求简的数学精神 3.过程与方法 通过启发引导、讨论等方法,理解直线的倾斜角与斜率的概念,掌握由直线上两点的坐 标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程,会实现直线方程的各种形式之间 的互化 教学重点难点】 1.教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式 2.教学难点:斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式 【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2课时 【教学过程】 复习引入: 直线和圆都是最常见的简单几何图形,在生产实践和实际生活中有广泛的应 用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究,初中代数研究了一次 函数图象及其性质,高一数学研究了三角函数、平面向量,直线和圆的方程的内 容以上述知识为基础,直线和圆的方程是解析几何的基础知识,在解决实际问题 中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念,即直线的倾斜角和斜率 (1)回顾一次函数的图象及性质 形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数;它的图象是一条直线:当k>0时,在R
第九章 解析几何初步 【课题】第一节 直线的倾斜角与斜率 【教学目标】 1．知识与技能: （1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 2．情感、态度、价值观： （1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。 （2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形 成严谨的科学态度和求简的数学精神 3．过程与方法: 通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐 标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间 的互化。 【教学重点难点】 1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式 2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式 【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2 课时 【教学过程】 一、复习引入： 直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应 用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次 函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内 容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题 中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。 ⑴回顾一次函数的图象及性质 形如 y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当 k＞0 时，在 R
上是增函数,当k<0时,在R上是减函数。 (2)画出下列一次函数的图象 ② 小结:作一次函数图象的方法一由于两点确定一条直线,故可在直线上任取两点, 通常取点(0,b)与(-b/k,0)。 研究两点(-2,0)、(0,4)与函数式y=2x+4的关系是:这两点就是满 足函数式的两对x、y的值。 由作图知满足函数式y=2x+4的每一对x、y的值都是函数y=2x+4 上的点:这条直线上的点的坐标都满足函数式y=2x+4。 小结:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b(k≠0) 的每一对x、y的值为坐标的点构成的。 由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程,所以我们说,这个方 程的解和直线上的点存在这样的对应关系 二、讲授新课: (1)直线方程的概念 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点 的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做 这个方程的直线。 在平面直角坐标系中研究直线时,就是利用直线和方程的这种关系,建立直 线的方程,并通过方程来研究直线的有关问题,为此,我们先研究直线的倾斜角 和斜率。正面请同学们阅读教材P34-35,理解直线的倾斜角和斜率的定义,并注 意它们的变化范围。(5分钟)
上是增函数，当 k＜0 时，在 R 上是减函数。 ⑵画出下列一次函数的图象 ① y = 2x + 4 ② y = －2x + 2 小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点， 通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。 研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式 y = 2x + 4 的关系是：这两点就是满 足函数式的两对 x、y 的值。 由作图知满足函数式 y = 2x + 4 的每一对 x、y 的值都是函数 y = 2x + 4 上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式 y = 2x + 4。 小结：一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足 y=kx+b(k≠0) 的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的。 由于函数式 y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方 程的解和直线上的点存在这样的对应关系。 二、讲授新课： ⑴直线方程的概念 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点 的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做 这个方程的直线。 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直 线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角 和斜率。正面请同学们阅读教材 P34－35，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注 意它们的变化范围。（5 分钟）
(2)直线的倾斜角 ①定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的 倾斜角。 当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0° ②范围:0°≤a<180° (3)直线的斜率 定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的 斜率常用k表示,即 k=tana(a≠90°) (4)过两点的直线的斜率公式、形式特点 方向向量 P2 直线上的向量PP及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线PP2的方 向向量PP2的坐标是(x2-x,y2-y1),其中P1(x,y1),P2(x2,y2);当直线PP2
⑵直线的倾斜角 ①定义: 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 α，那么 α 就叫做直线的 倾斜角。 当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0º。 ②范围：0º≤α＜180º y y l l α α o x o x ⑶直线的斜率 定义：倾斜角不是 90º 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的 斜率常用 k 表示，即 （4）过两点的直线的斜率公式、形式特点 方向向量： y y P2 P2 P1 P1 α α α α o x o x 直线上的向量 P1P2 及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线 P1P2的方 向向量 P1P2 的坐标是（x2－x1，y2－y1）,其中 P1（x1,y1），P2（x2,y2）；当直线 P1P2 k = tanα（α≠90º）
与x轴不垂直时,x≠x,此时1PE2也是直线PP2的方向向量,且它的坐 标是 (x2-12-),即(1,k),其中k为直线PP2的斜率。 注:方向向量与x轴所成的最小正角与直线1的倾斜角相等。 (5)斜率公式 经过两点P1(x,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式是: =少2-y x1≠x 推导如下: 设直线PP2的倾斜角为a,斜率为k,向量PP2的方向是向上的(如下图), 向量PP2=(x2-x,y2-y1),过原点作向量OP=PP2,则点P(x2-x1,y2-y) 而且直线OP的倾斜角也是α,根据正切函数的定义有 tan a= x2(x2≠x),即k=y2-y(x2≠x)。 y2 同样,当向量PP2的方向是向下时,也有同样的公式 小结:斜率公式的形式特点 (1)斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次 序可同时颠倒。 (2)斜率公式表明,直线对于x轴的倾斜程度,可以通过直线上任意两点坐标 表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3斜率公式中,当x1=x2时不适用,此时直线和x轴垂直,直线的倾斜角a =90° 3、应用举例 例1如图,直线1的倾斜角为a=30°,直y4+1,求直线1、1的斜率 解:1的斜率k=tana=tan30°=√3/3 l1 l1⊥12 ∴12的倾斜角a2=90°+30°=120°
与 x 轴不垂直时，x2≠x1，此时 1 2 2 1 1 P P x − x 也是直线 P1P2的方向向量，且它的坐 标是 ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 x x y y x x − − − ，即（1，k），其中 k 为直线 P1P2的斜率。 注：方向向量与 x 轴所成的最小正角与直线 l 的倾斜角相等。 （5）斜率公式 经过两点 P1（x1,y1），P2（x2,y2）的直线的斜率公式是： ( ) 1 2 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 推导如下： 设直线 P1P2的倾斜角为 α，斜率为 k，向量 P1P2的方向是向上的 （如下图）， 向量 1 2 2 1 2 1 OP P1P2 P P ＝（x －x , y －y ),过原点作向量 = ,则点 P（x2－x1 , y2－y1）, 而且直线 OP 的倾斜角也是 α，根据正切函数的定义有 tan ( ) 2 1 2 1 2 1 x x x x y y − − = ，即 ( ) 2 1 2 1 2 1 x x x x y y k − − = 。 同样，当向量 P1P2的方向是向下时，也有同样的公式。 小结：斜率公式的形式特点 ⑴斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次 序可同时颠倒。 ⑵斜率公式表明，直线对于 x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标 表示，而不需要求出直线的倾斜角。 ⑶斜率公式中，当 x1＝x2时不适用，此时直线和 x 轴垂直，直线的倾斜角 α ＝90°。 3、应用举例 例 1 如图，直线 l1的倾斜角为 α1＝30°，直线 l2⊥l1，求直线 l1、l2的斜率。 解：l1的斜率 k1=tanα1=tan30°= 3 / 3 l1 ∵l1⊥l2 l2 ∴l2的倾斜角 α2＝90°＋30°＝120° Y
∴12的斜率k2=tan120°=-√3 例2直线过点A(一2,0),B(-5,3),求直线AB的斜率 解:k=(3-0)/[(-5)-(-2)]=-1 又a∈[0°,180°) a=135 因此,这条直线的斜率是一1,倾斜角是135° 巩固练习Pn练习4、5 4、归纳总结 数学思想:数形结合、分类讨论 数学方法:图象法、公式法 三、内容、方法小结 本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义,以及斜率的两种求法,教学中运用图像 法和公式法使得内容更易理解 四、课后作业 五、板书设计: 1.倾斜角和斜率 倾斜角定义: 例1 斜率定义 两点式求斜率 例2 作业 六、教学反思:
∴l2的斜率 k2＝tan120°＝－ 3 α1 α2 o x 例 2 直线过点 A（－2，0）, B（－5，3），求直线 AB 的斜率。 解：k＝(3－0)/[(－5)－(－2)]＝－1 又 α∈［0°,180°） ∴α＝135° 因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是 135° 巩固练习 P37 练习 4、5 4、归纳总结 数学思想：数形结合、分类讨论 数学方法：图象法、公式法 三、内容、方法小结： 本节介绍了直线的倾斜角和斜率的定义，以及斜率的两种求法，教学中运用图像 法和公式法使得内容更易理解。 四、课后作业 P89 2 3 五、板书设计： 1.倾斜角和斜率 倾斜角定义： 例 1 斜率定义： 两点式求斜率 例 2 作业： 六、教学反思：